埃奇沃斯级数

✍ dations ◷ 2025-07-08 16:28:29 #需要统计学专家关注的页面,需要经济学专家关注的页面,级数,统计学

埃奇沃斯级数(Edgeworth series)是以爱尔兰经济学家埃奇沃斯来命名的。它和 Gram-Charlier A series 一样,是把一个随机变数的几率密度函数展成级数,级数中的每一项是用该随机变数的 cumulants 来表达。对同一个分布,Gram-Charlier A series 和埃奇沃斯级数展出来是同样的级数,只是项的排列不同。(也因此只取前几项作为逼近时的误差会有所不同)

Gram-Charlier A series 的主要想法,是把待逼近分布(以 为它的密度函数)的特征方程,写成另一个已知分布的特征方程的展式,再经过傅立叶变换的逆变换,就可以求得 的展式。

假设 是待逼近分布的特征方程, κ r {\displaystyle \kappa _{r}} )ψ() 是 (−1) Ψ {\displaystyle \Psi } ) 的傅立叶变换,其中 代对 的微分算子。这样我们就得到 的一个级数

如果令 Ψ {\displaystyle \Psi } 相同,也就是说,期望值 μ = κ1,变异数 σ2 = κ2,则此展式变成

再将指数函数展开并按微分阶数逐项列出,就得到 Gram-Charlier A series。例如,选用正态分布做为已知分布,展到前两项就可以得到

其中 3() = 3 − 3;4() = 4 − 62 + 3 (即埃尔米特多项式)

注意到以上的 series 并不保证函数值恒正,所以事实上并不一定是一个密度函数。在许多情况下,Gram-Charlier A series 会发散—仅当 趋近无限大时 () 递降的比 exp(−2/4) 快时它才会收敛 (Cramér 1957)。当它不收敛时,这不是一个真正的渐近展式,因为要估计这个展式的误差是不可能的。因此,一般的情况埃奇沃斯级数(见下一节)比 Gram-Charlier A series 更常用。

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