埃奇沃斯级数

埃奇沃斯级数（Edgeworth series）是以爱尔兰经济学家埃奇沃斯来命名的。它和 Gram-Charlier A series 一样，是把一个随机变数的几率密度函数展成级数，级数中的每一项是用该随机变数的 cumulants 来表达。对同一个分布，Gram-Charlier A series 和埃奇沃斯级数展出来是同样的级数，只是项的排列不同。（也因此只取前几项作为逼近时的误差会有所不同）

Gram-Charlier A series 的主要想法，是把待逼近分布（以 为它的密度函数）的特征方程，写成另一个已知分布的特征方程的展式，再经过傅立叶变换的逆变换，就可以求得 的展式。

假设 是待逼近分布的特征方程，${\displaystyle {\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_r}$)ψ() 是 (−1) ${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}$) 的傅立叶变换，其中 代对 的微分算子。这样我们就得到 的一个级数

如果令 ${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}$相同，也就是说，期望值 μ = κ₁，变异数 σ2 = κ₂，则此展式变成

再将指数函数展开并按微分阶数逐项列出，就得到 Gram-Charlier A series。例如，选用正态分布做为已知分布，展到前两项就可以得到

其中 ₃() = 3 − 3；₄() = 4 − 62 + 3 （即埃尔米特多项式）

注意到以上的 series 并不保证函数值恒正，所以事实上并不一定是一个密度函数。在许多情况下，Gram-Charlier A series 会发散—仅当 趋近无限大时 () 递降的比 exp(−2/4) 快时它才会收敛 (Cramér 1957)。当它不收敛时，这不是一个真正的渐近展式，因为要估计这个展式的误差是不可能的。因此，一般的情况埃奇沃斯级数（见下一节）比 Gram-Charlier A series 更常用。