自由幺半群

✍ dations ◷ 2025-12-07 10:08:06 #自由幺半群

在抽象代数里，于一集合上的自由幺半群是指一幺半群，其元素都是由内零个或多个元素以串接之二元运算形成的有限序列(或字符串)。通常标记为*。其单位元为空字元串，标记为ε 或 λ。在上的自由半群则指是*内的子半群，其包含除了空字串外的所有元素。通常标记为。

更一般地，一抽象幺半群(半群)被称做是自由的，若其与某一集合上的自由幺半群(半群)同构。

如其名称所述，自由幺半群(半群)为满足定义了自由对象的泛性质的对象，在幺半群(半群)的范畴里。它允许每一个幺半群(半群)都会是某一自由幺半群(半群)的同态映像。研究半群为自由半群的映像的学科称做组合半群理论。

集合的元素称为*和是自由生成元。更一般地讲，若是一抽象自由幺半群(半群)，则有一集合含有映射至与*()同态的单字母集合的元素，此集合称为的“自由生成元集合”。

每一自由幺半群(半群)会有一个且只有一个自由生成元集合，其势则称做的“秩”。

两个自由幺半群(半群)同构当且仅当它们拥有相同的秩。而事实上，自由幺半群(半群)的每一生成元集合都会包含其自由生成元。这使得一个自由幺半群(半群)会是有限生成的当且仅当它的秩是有限个的。

自然数(包括零)在加法下的幺半群(N,+)是一有单一产生元(即其秩为一)的自由幺半群。它唯一的自由产生元为数字一。

设Σ是一，则Σ*包含于Σ之上的所有，于形式语言理论的意思之下。因此，形式语言的抽象研究可以想成是有限产生自由幺半群子集的研究。且幺半群理论和自动机理论是有着很深的关联性的。例如，于Σ以上的正则语言会是有限幺半群子集的Σ*的同态像原。

例如，若={, , }，*的元素会是下列的形式

若是一集合，则在*上的函数是由*至N的唯一幺半群同态，其将的每一个元素都映射至1。

给定一集合，则在上的自由可交换幺半群是指由内元素形成之复集所组成的集合。这形成了以复集联合为二元运算的可交换幺半群。

例如，若 = {, , }，于上的自由可交换幺半群元素会是下列的形式

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