这个条目给出了二次互反律的证明。
对于两个奇素数,。其中,是勒让德符号。
设是一个奇素数并且。对于每个,这样定义和:
,其中,。通过分别考虑和的情况,易证每个都两两不等。
现在考虑。因为每个都两两不等,所以就是的一个重排列。所以我们得到,因此。
现在考虑的正负情况。等价于。若,则有。注意到,将等式两边同时乘2得到,其中,可以发现是偶数,而也是偶数。同理可证若,,而是奇数。据此,可以知道,其中是的符号,也就是还是。
所以。又由欧拉准则知,所以。
如果是奇数,同时考虑勒让德符号的性质,可知,其中最后一步利用了等差数列的求和公式。
但是,当时,由上式可得,所以
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