阻尼

✍ dations ◷ 2025-06-09 10:11:01 #机械振动学,无量纲,常微分方程,电子学术语,控制理论,振荡

阻尼(英语:damping)是指任何振动系统在振动中,由于外界作用(如流体阻力、摩擦力等)和/或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性,以及此一特性的量化表征。

在实际振动中,由于摩擦力总是存在的,所以振动系统最初所获得的能量,在振动过程中因阻力不断对系统做负功,使得系统的能量不断减少,振动的强度逐渐减弱,振幅也就越来越小,以至于最后的停止振动,像这样的因系统的力学能,由于摩擦及转化成内能逐渐减少,振幅随时间而减弱振动,称为阻尼振动。

“阻尼”源自英语“damping”,其动词形式“damp”意为阻抑、减弱。1933年8月21日至9月2日召开的中央研究院物理研究所第一次名词审查会议上,名词审查委员会主任委员杨肇燫以“尼”字有逐步减阻之义,提出将该词译作“阻尼”而获赞同,自此被采纳而定案。

不同于汉语中“尼”经常作为音译语素的情况(如“比丘尼”“尼龙”“突尼斯”),“阻尼”是用两个同义语素对“damping”进行的意译。

在物理学和工程学上,阻尼的力学模型一般是一个与振动速度大小成正比,与振动速度方向相反的力,该模型称为粘性(或黏性)阻尼模型,是工程中应用最广泛的阻尼模型。粘性阻尼模型能较好地模拟空气、水等流体对振动的阻碍作用。本条目以下也主要讨论粘性阻尼模型。然而必须指出的是,自然界中还存在很多完全不满足上述模型的阻尼机制,譬如在具有恒定摩擦系数的桌面上振动的弹簧振子,其受到的阻尼力就仅与自身重量和摩擦系数有关,而与速度无关。

除简单的力学振动阻尼外,阻尼的具体形式还包括电磁阻尼、介质阻尼、结构阻尼等等。尽管科学界目前已经提出了许多种阻尼的数学模型,但实际系统中阻尼的物理本质仍极难确定。下面仅以力学上的粘性阻尼模型为例,作一简单的说明。

粘性阻尼可表示为以下式子:

上述关系类比于电学中定义电阻的欧姆定律。

在日常生活中阻尼的例子随处可见,一阵大风过后摇晃的树会慢慢停下,用手拨一下吉他的弦后声音会越来越小,等等。阻尼现象是自然界中最为普遍的现象之一。

理想的弹簧阻尼器振子系统如右图所示。分析其受力分别有:

假设振子不再受到其他外力的作用,于是可利用牛顿第二定律写出系统的振动方程:

其中 为加速度。

上面得到的系统振动方程可写成如下形式,问题归结为求解位移 关于时间 函数的二阶常微分方程:

将方程改写成下面的形式:

然后为求解以上的方程,定义两个新参量:

上面定义的第一个参量,ωn,称为系统的(无阻尼状态下的)固有频率。第二个参量,ζ,称为阻尼比。根据定义,固有频率具有角速度的量纲,而阻尼比为无量纲参量。

微分方程化为:

根据经验,假设方程解的形式为

其中参数   γ   {\displaystyle \ \gamma \ } 和φ 由系统的初始条件(包括振子的初始位置和初始速度)所决定。该振动解代表的是一种振幅按指数规律衰减的简谐振动,称为衰减振动(见上图中 ς < 1 {\displaystyle \varsigma <1} 和 由初始条件所决定。该振动解表征的是一种按指数规律衰减的非周期运动。

则运动微分方程的通解可以写为:

其中 和 同样取决于初始条件,cos 和 sin 为双曲函数。该振动解表征的是一种同样按指数规律衰减的非周期蠕动。从上面的位移-时间曲线图中可以看出,过阻尼状态比临界阻尼状态蠕动衰减得更慢。

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