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热核

✍ dations ◷ 2025-07-02 10:11:44 #热传导,抛物型偏微分方程

热核（英语：heat kernel）在数学中是指热方程的基本解。其也是拉普拉斯算子谱分析中的重要工具之一。对于固定边界的区域，当边界温度给定、并于 = 0时在其中某一点放置一单位热能时，热核表示此后区域内温度的变化过程。

最常见的热核为维欧几里得空间R上的热核。该热核为随时间变化的高斯函数，其表达式为

该热核是热方程

的解，其中 > 0，, ∈ R，Δ则表示拉普拉斯算子。方程的初始条件为

其中δ表示狄拉克δ函数。对任一紧支撑的光滑函数φ，有

对于R上的一般区域，热核并没有显式的表达式。当区域为圆盘或方形时，热核则分别为贝塞尔函数与雅可比Θ函数。可以证明，对任意黎曼流形，当边界条件充分正则时，热核存在且在>0时光滑。

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