渐开线

渐伸线（involute）(或称渐开线(evolvent))和渐屈线（evolute）是曲线的微分几何上互为表里的概念。若曲线A是曲线B的渐伸线，曲线B是曲线A的渐屈线。在曲线上选一定点S。有一动点P由S出发沿曲线移动，选在P的切线上的Q，使得曲线长SP 和直线段长PQ 相同。渐伸线就是Q的轨迹。若曲线B有参数方程 r : R → R n {displaystyle r:mathbb {R} to mathbb {R} ^{n}} ，其中 | r ′ ( s ) | = 1 {displaystyle |r^{prime }(s)|=1} ，曲线A的方程为 t ↦ r ( t ) − t r ′ ( t ) {displaystyle tmapsto r(t)-tr^{prime }(t)} 。曲线的渐屈线是该曲线每点的曲率中心的集。若该曲线有参数方程 r : R → R n {displaystyle r:mathbb {R} to mathbb {R} ^{n}} （ | r ′ ( s ) | = 1 {displaystyle |r^{prime }(s)|=1} ），则其渐屈线为每条曲线可有无穷多条渐伸线，但只有一条渐屈线。渐开线方程曲线的参数化定义的函数( x(t) , y(t) ) 是:X [ x , y ] = x − x ′ ∫ a t x ′ 2 + y ′ 2 d t x ′ 2 + y ′ 2 {displaystyle X=x-{frac {x'int _{a}^{t}{sqrt {x'^{2}+y'^{2}}},dt}{sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}} Y [ x , y ] = y − y ′ ∫ a t x ′ 2 + y ′ 2 d t x ′ 2 + y ′ 2 {displaystyle Y=y-{frac {y'int _{a}^{t}{sqrt {x'^{2}+y'^{2}}},dt}{sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}圆的渐伸线会形成一个类似阿基米德螺线的图形.其中 a {displaystyle ,a} 是圆的半径， t {displaystyle ,t} 为参数其中 a {displaystyle ,a} 是圆的半径 α {displaystyle ,alpha } 为参数通常，一个圆的渐开线常被写成写成：欧拉建议使用圆的渐开线作为齿轮的形状, 这个设计普遍存在于目前使用，称为渐开线齿轮。一个悬链线的渐开线 会通过此悬链线的顶点 ，形成曳物线。 在笛卡儿坐标系中，一个悬链线的渐开线的参数方程可以写成：x = t − t a n h ( t ) {displaystyle x=t-mathrm {tanh} (t),}y = s e c h ( t ) {displaystyle y=mathrm {sech} (t),}其中t 是参数，而sech是双曲正割函数(1/cosh(x))衍生用 r ( s ) = ( sinh − 1 ⁡ ( s ) , cosh ⁡ ( sinh − 1 ⁡ ( s ) ) ) {displaystyle r(s)=(sinh ^{-1}(s),cosh(sinh ^{-1}(s))),}我们得到 r ′ ( s ) = ( 1 , s ) / 1 + s 2 {displaystyle r^{prime }(s)=(1,s)/{sqrt {1+s^{2}}},}且 r ( t ) − t r ′ ( t ) = ( sinh − 1 ⁡ ( t ) − t / 1 + t 2 , 1 / 1 + t 2 ) {displaystyle r(t)-tr^{prime }(t)=(sinh ^{-1}(t)-t/{sqrt {1+t^{2}}},1/{sqrt {1+t^{2}}})} .替代成 t = 1 − y 2 / y {displaystyle t={sqrt {1-y^{2}}}/y}可得到 ( s e c h − 1 ( y ) − 1 − y 2 , y ) {displaystyle ({rm {sech}}^{-1}(y)-{sqrt {1-y^{2}}},y)} .一个 摆线的渐开线是另一个与它 全等的摆线 在笛卡儿坐标系中，一个摆线的渐开线的参数方程可以写成：其中 t 是角度， r 是 半径