BP检验

在统计学中，BP检验（英语：Breusch–Pagan test）是1979年由布伦斯（英语：Trevor Breusch）和帕甘（英语：Adrian Pagan）提出的方法，用来检验线性回归模型中是否存在异方差的问题。另外，丹尼斯·库克（英语：R. Dennis Cook）和韦斯伯格在1983年独立地提出了类似的方法。异方差的存在意味着模型的方差与自变量是相关的。

设回归模型为

对其进行回归可以得到一组残差${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{u}}$。普通最小二乘法（英语：Ordinary least squares）要求方差与自变量无关，这时方差可以由残差平方和的平均值估计得到。但如果这个前提不成立，例如方差与自变量线性相关，就可以通过下列辅助回归，即残差平方对自变量进行回归检验出来：

这就是BP检验的一个情形。它实质上是卡方检验，检验统计量渐进于${\displaystyle n{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2}$，自由度与除常数项外的解释变量数相等。如果得到的p值小于一定阈值（如0.05）就可以拒绝零假设并认为异方差存在。

如果BP检验表明存在异方差存在，可以视情况使用加权最小二乘法（英语：weighted least squares）（适用于异方差的分布已知时）或异方差稳健标准误（英语：heteroscedasticity-consistent standard errors）方法。

根据高斯-马尔可夫定理，在同方差的前提下，普通最小二乘估计是最佳的线性无偏估计，意即其方差相较其他任何估计量都更小。如果异方差存在，估计结果仍是无偏的，但其方差并不是最小的。在决定使用哪种估计方法之前，可以先进行BP测试来判断是否存在异方差。BP检验的前提是方差${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i^2=h(x_i^T\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})}$与各个自变量有关，其中${\displaystyle x_i=(1,x_{2i},\dots <!--\; \dots \; -->,x_{pi})}$是自变量，这里除去常数项以外共有${\displaystyle p-<!--\; -\; -->1}$个解释变量。零假设亦即异方差不存在等价于${\displaystyle (p-<!--\; -\; -->1)}$个约束：

BP测试分为以下三个步骤：

并对每个观测都计算出残差${\displaystyle e_i}$。

如果同方差的零假设成立，LM统计量是渐进于${\displaystyle {\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{p-<!--\; -\; -->1}^2}$分布的。

在R语言中，能够完成BP检验的函数包括car包中的ncvTest函数、lmtest包中的bptest函数以及plm包中的plmtest函数等。

而Stata中计算回归后使用estat hettest命令，参数填写所有独立变量，即可进行BP检验。

在Python中，statsmodels.stats.diagnostic（statsmodels包）中的函数het_breuschpagan可进行BP检验。