BP检验

✍ dations ◷ 2025-07-08 16:55:50 #统计检验

在统计学中,BP检验(英语:Breusch–Pagan test)是1979年由布伦斯(英语:Trevor Breusch)和帕甘(英语:Adrian Pagan)提出的方法,用来检验线性回归模型中是否存在异方差的问题。另外,丹尼斯·库克(英语:R. Dennis Cook)和韦斯伯格在1983年独立地提出了类似的方法。异方差的存在意味着模型的方差与自变量是相关的。

设回归模型为

对其进行回归可以得到一组残差 u ^ {\displaystyle {\widehat {u}}} 。普通最小二乘法(英语:Ordinary least squares)要求方差与自变量无关,这时方差可以由残差平方和的平均值估计得到。但如果这个前提不成立,例如方差与自变量线性相关,就可以通过下列辅助回归,即残差平方对自变量进行回归检验出来:

这就是BP检验的一个情形。它实质上是卡方检验,检验统计量渐进于 n χ 2 {\displaystyle n\chi ^{2}} ,自由度与除常数项外的解释变量数相等。如果得到的p值小于一定阈值(如0.05)就可以拒绝零假设并认为异方差存在。

如果BP检验表明存在异方差存在,可以视情况使用加权最小二乘法(英语:weighted least squares)(适用于异方差的分布已知时)或异方差稳健标准误(英语:heteroscedasticity-consistent standard errors)方法。

根据高斯-马尔可夫定理,在同方差的前提下,普通最小二乘估计是最佳的线性无偏估计,意即其方差相较其他任何估计量都更小。如果异方差存在,估计结果仍是无偏的,但其方差并不是最小的。在决定使用哪种估计方法之前,可以先进行BP测试来判断是否存在异方差。BP检验的前提是方差 σ i 2 = h ( x i T γ ) {\displaystyle \sigma _{i}^{2}=h(x_{i}^{T}\gamma )} 与各个自变量有关,其中 x i = ( 1 , x 2 i , , x p i ) {\displaystyle x_{i}=(1,x_{2i},\ldots ,x_{pi})} 是自变量,这里除去常数项以外共有 p 1 {\displaystyle p-1} 个解释变量。零假设亦即异方差不存在等价于 ( p 1 ) {\displaystyle (p-1)} 个约束:

BP测试分为以下三个步骤:

并对每个观测都计算出残差 e i {\displaystyle e_{i}}

如果同方差的零假设成立,LM统计量是渐进于 χ p 1 2 {\displaystyle \chi _{p-1}^{2}} 分布的。

在R语言中,能够完成BP检验的函数包括car包中的ncvTest函数、lmtest包中的bptest函数以及plm包中的plmtest函数等。

而Stata中计算回归后使用estat hettest命令,参数填写所有独立变量,即可进行BP检验。

在Python中,statsmodels.stats.diagnosticstatsmodels包)中的函数het_breuschpagan可进行BP检验。

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