包络线

包络线（Envelope）是几何学里的概念，代表一条曲线与某个曲线族中的每条线都有至少一点相切。（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系。）

设一个曲线族的每条曲线${\displaystyle C_s}$可表示为${\displaystyle t\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(x(s,t),y(s,t))}$，其中${\displaystyle s}$是曲线族的参数，${\displaystyle t}$是特定曲线的参数。若包络线存在，它是由${\displaystyle s\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(x(s,h(s)),y(s,h(s)))}$得出，其中${\displaystyle h(s)}$以以下的方程求得：

若曲线族以隐函数形式 ${\displaystyle F(x,y,s)=0}$ 表示，其包络线的隐方程，便是以下面两个方程消去${\displaystyle s}$得出。

绣曲线是包络线的例子。直线族${\displaystyle (A-<!--\; -\; -->s)x+sy=(A-<!--\; -\; -->s)(s)}$（其中${\displaystyle A}$是常数，${\displaystyle s}$是直线族的变数）的包络线为抛物线。

设曲线族的每条曲线${\displaystyle C_s}$为${\displaystyle t\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(x(s,t),y(s,t))}$。

设存在包络线。由于包络线的每点都与曲线族的其中一条曲线的其中一点相切，对于任意的${\displaystyle s}$，设${\displaystyle (x(s,h(s)),y(s,h(s)))}$表示${\displaystyle C_s}$和包络线相切的那点。由此式可见，${\displaystyle s}$是包络线的变数。要求出包络线，就即要求出${\displaystyle h(s)}$。

在${\displaystyle C_s}$的切向量为，其中${\displaystyle t=h(s)}$。

在E的切向量为。因为${\displaystyle x}$是${\displaystyle s}$和${\displaystyle t}$的函数，而此处${\displaystyle t=h(s)}$，局部求导有：

类似地得 ${\displaystyle \frac{dy}{ds}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}h}{h}^{\prime }(s)+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}s}}$。

因为${\displaystyle E}$和${\displaystyle C_s}$在该点相切，因此其切向量应平行，故有

其中${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->0}$。可用此两式消去${\displaystyle h^{\prime }(s)}$。整理后得：${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}h}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}s}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}s}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}h}}$