消失量之鬼

✍ dations ◷ 2025-06-08 23:23:05 #微积分,微积分史

消失量之鬼(ghosts of departed quantities)一词对许多微积分学生来说都不陌生。这一词组由乔治·贝克莱杜撰,首次出现在他1734年的著作《分析学家》(The Analyst)。贝克莱用这个词对牛顿和莱布尼茨发展的旧有理论的根基进行简单的批判。

考虑下例:函数  = 2可通过如下商数进行微分:

即的增量(通常用表示)除以的增量(通常用表示)。这个表达式可以通过代数方法化简为:

为了得到原函数对应的导数,也就是2,我们必须将无穷小量去掉。因此,这个建立商数时被假设为非零(否则数无意义)的无穷小量 ,在计算的最后一步却竟然被视为零而去除了。总之,一个“消失量”( = 0),却不会在“幽灵般地”出现( ≠ 0)。贝克莱认为,这样一个矛盾将侵蚀微积分这门新学科的逻辑根基。

关于这个悖论,其中一个可能的解决方案是建立在超实分析中的standard part function(英语:standard part function)“st”之上的(参见非标准微积分)。即:将导数定义为:

替代原来的无穷小量定义。亚伯拉罕·罗宾逊在他1966年的著作《非标准分析》中写下如下的一段话:

相关

  • 原子核原子核(德语:Atomkern,英语:Atomic nucleus)是原子的组成部分,位于原子的中央,占有原子的大部分质量。组成原子核的有中子和质子。当周围有和其中质子等量的电子围绕时,构成的是原子
  • 菲力普·奥尔良菲利普二世,奥尔良公爵(法语:Philippe II, Duke of Orléans,1674年8月2日-1723年12月2日),沙特尔公爵(法语:Duke of Chartres,(1674年–1701年),奥尔良公爵(1701年–1723年)1715年到1723
  • 台湾木兰足球联赛台湾木兰女子足球联赛(英语:Taiwan Mulan Football League),简称TMFL,是台湾女子足球联赛,2014年起取代全国女子甲组足球联赛成为台湾女子足球最高层级赛事(半职业),现由中华民国足球
  • 五股坐标:25°04′58″N 121°26′17″E / 25.082743°N 121.438156°E / 25.082743; 121.438156五股区是中华民国新北市所辖29个市辖区之一,也是台北都会区的卫星城市之一,位于新
  • 星云假说星云假说是在天体演化学的场合要解释太阳系的形成与演化最被广泛接受的模型。它建议太阳系是在星云物质中形成的,这个理论最早是伊曼努尔·康德于1755年发表在自然史和天空理
  • 自由之声电台 (短波广播)自由之声电台(朝鲜语:자유의 소리/自由의 소리 ;英文:Voice of Freedom)是韩国针对朝鲜的宗教广播。广播语言为朝鲜语,用短波广播。该台主要由脱北者创办,于2008年4月24日开播,最初的
  • 纳斯林·索托德纳斯林·索托德(波斯语:نسرین ستوده‎,1963年5月30日-),伊朗女性律师和人权活动家。她曾经辩护过的委托人包括记者Isa Saharkhiz、诺贝尔和平奖得主希林·伊巴迪,以及被
  • 德国之声国际博客大赛德国之声国际博客大赛(The BOBs)是德国之声举办的年度国际博客大赛,首届大赛于2004年举行,2014年起正式更名为德国之声Bobs新媒体大赛。2014年2月5日第10届德国之声Bobs新媒体大
  • 龙洞站 (咸镜北道)龙洞站(韩语:룡동역)是朝鲜民主主义人民共和国咸镜北道化城郡龙洞里的一个铁路车站,属于平罗线。平罗线
  • 丁一鸣丁一鸣(16世纪-17世纪),字惺蓼,南直隶安庆府潜山县人,明朝政治人物。丁一鸣是万历三十七年(1609年)的举人,四十四年(1616年)成进士,获授中书舍人;崇祯年间因召对称旨升为给事中,在任内去世