1 + 1 + 1 + 1 + …

✍ dations ◷ 2025-09-12 16:00:49 #发散级数,等差级数,等比级数,一,数学悖论

1 + 1 + 1 + 1 + …，亦写作 ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }n^{0}}$ 可以视为公比为1的等比级数。不同于其他公比为有理数的等比级数，此级数不但在实数下不收敛，在某些特定数字p的p进数下也不收敛。若在扩展的实数轴中，因为部分和形成的数列单调递增且没有上界，因此级数的值如下

此发散级数无法用切萨罗求和及阿贝尔和的求和法求和。

当出现于物理运用时，它也解释为ζ函数正规化（英语：Zeta function regularization），它是黎曼ζ函数在零点的取值。

上述二个公式在 ${displaystyle s=0}$ )在 = 1时的级数展开：也是这种意义下此级数的和：

1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −1⁄₂

也可用其他的s值来为其他的级数求和，例如ζ(-1)=1 + 2 + 3 + 4 + ⋯=–1/12，ζ(-2)=1 + 4 + 9 + ... = 0，其通式为

其中_k为伯努利数。

在同一年内，有两位杰出的物理学家斯拉夫诺夫（A. Slavnov）和F. Yndurain 分别在巴塞罗那作了学术演讲。两场学术演讲的主题不同，但是在这两个人的介绍当中，都说到了一句令观众非常难忘的话：“各位都知道，1 + 1 + 1 + 1 + … = −1⁄2”，某程度意味着“如果观众不知道这个，那么继续听下去是没有意义的。”

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