角动量算符对易关系

✍ dations ◷ 2025-07-11 17:14:02 #角动量,物理算符,李群表示论

在量子力学中,角动量算符之间的对易关系是基本的对易关系之一。从这些对易关系出发就足以得出关于角动量算符及其本征函数的许多性质,而不需要关心角动量算符在某个表象下的具体表达式。从数学上看,这一套理论实际上是研究与李代数 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 相关的性质。

在三维空间中的角动量算符(经典角动量的量子化)满足下列的基本对易关系式:

式中 ϵ α β γ {\displaystyle \epsilon _{\alpha \beta \gamma }} 是列维-奇维塔符号。

上面的关系式反映了角动量算符的内在性质。反过来,可以直接由这组对易关系式出发,把满足这样性质的算符都称为角动量算符。

若有三个算符

满足对易关系

则称以这三个算符为分量的矢量算符

为一个角动量算符。

这样定义的角动量算符自然地包含了轨道角动量、自旋角动量、总角动量等。

运用叉乘的符号,上面的对易关系式也可以简单表示为:

定义角动量平方算符为

直接计算可以得到:

进一步定义

它们分别称为升算符与降算符,则直接计算可以得到下列关系式:

最后一式中的是反对易子。

由于角动量平方算符与任一分量对易,故它们存在共同的本征函数,记作

使得

且满足正交归一关系:

对于任意一个算符 f,我们可以取矩阵元

对上一小节给出的前三个对易关系式两边分别取矩阵元。

由第一、二式可得:

对第三式取矩阵元,并在其中插入单位分解

得:

再利用 j+j- 互为伴算符,就得到

习惯上取 δ=0,这称为 Condon-Shortle 惯例。取一个本征函数,不断用升算符作用,每次将 m 增加 1,如果这个过程不终止,则上式中的根号内的部分总会变成负数,这与任意态函数的模方为非负数矛盾。因此,上述过程只能在某一步终止,即对于某个 m,根号下的部分变为 0,此时对应的 m 就是 m 的上确界,而 λ=m(m+1)。对降算符也可以进行类似的讨论,最后得到

此外,m 的下确界与 m 的上确界的本征函数间也必须可以通过有限次升降算符的作用联系起来,即

综合起来,就得到量子化条件

上面一小节实际上已经给出了各个角动量算符矩阵元的计算公式,下面是一些具体的例子。

j=0 时的矩阵表示是平凡的。

j=1/2 时的矩阵表示对应着泡利矩阵,

j=1 时的矩阵表示,

相关

  • RNAiRNA干扰(RNA interference,缩写为RNAi)是指一种分子生物学上由双链RNA诱发的基因沉默现象,其机制是通过阻碍特定基因的转录或翻译来抑制基因表达。当细胞中导入与内源性mRNA编码
  • 1,4-环己烷二甲醇1,4-环己烷二甲醇,分子式C8H16O2。白色蜡状固体。与水和低级醇类混溶,溶于酮,几乎不溶于脂肪烃和乙醚。毒性较低。粘度 675 mPa·s(50°C)。由对苯二甲酸二甲酯的甲醇溶液在加压(0
  • 暖武里暖武里是泰国暖武里府的一个城市。暖武里市截至2006年5月拥有人口266930人 ,是泰国第二大城市。由于其地理位置接近曼谷,实际上暖武里市已成为大曼谷的郊区、曼谷都市区的一部
  • 帕纳约蒂斯·弗拉霍迪莫斯帕纳约蒂斯·弗拉霍迪莫斯(希腊语:Παναγιώτης Βλαχοδήμος)是一位希腊足球选手。在场上司职边锋。他效力于希腊足球超级联赛球队奥林匹亚科斯足球俱乐部。
  • 欧仁·德·博阿尔内欧仁·德·博阿尔内(法语:Eugène de Beauharnais;1781年9月3日-1824年2月21日)法国军事家,为亚历山大·德·博阿尔内子爵与妻子约瑟芬的独子。拿破仑随身少将副官出生在法国首都
  • 无雷无雷国,西域古国。治无雷城,距离长安九千九百五十里。1000户,7000口,胜兵三千人。东北至西域都护治所二千四百六十五里,南至蒲犁五百四十里,南与乌秅、北与捐毒、西与大月氏相接。
  • 卡尔佩特塔卡尔佩特塔(Kalpetta),是印度喀拉拉邦Wayanad县的一个城镇。总人口29602(2001年)。该地2001年总人口29602人,其中男性14850人,女性14752人;0—6岁人口3606人,其中男1812人,女1794人;识
  • 成履泰成履泰(?-?),字鲁瞻,山西文水人,清朝官员。成履泰为山西文西人,贡生出身,曾任宁化县知县。乾隆三十三年(1768年)四月调任台湾府彰化县知县。乾隆四十三年(1778年)升任台湾府淡水抚民同知,同
  • 太穆皇后太穆皇后(569年-613年),窦氏,京兆郡始平县(今陕西省兴平市)人,北周上柱国、神武郡公窦毅与襄阳公主之女,唐高祖李渊夫人。族人为昭成皇后。窦氏年幼时被舅舅周武帝宇文邕抚养于宫中,很
  • 埃莱娜·埃斯皮诺萨埃莱娜·埃斯皮诺萨·曼加纳(西班牙语:Elena Espinosa Mangana,1960年3月21日-),西班牙政治人物,曾任农业大臣、环境大臣等职。1960年生于西班牙西北部加利西亚地区的奥伦塞。早年