主丛

数学上，一个G主丛(principal -bundle)是一种特殊的纤维丛，其纤维为拓扑群的作用的扭子（torsor）（也称为主齐性空间）。主丛是丛，因为群也是丛的结构群。

主丛在拓扑学和微分几何中有重要应用。他们在物理学中也有应用，他们组成了规范理论的基础框架的一部分。主丛为纤维丛的理论提供了一个统一的框架，因为所有纤维丛及其结构群决定了一个唯一的主丛，从该主丛可以重建原来的那个丛。

一个主丛是一个纤维丛π : → ，及一个拓扑群的连续右作用 × → ，该作用保持的纤维不变并在纤维上自由和推移式的作用。（经常会要求基空间是豪斯多夫空间，还可能要求仿紧）。丛的抽象纤维取为本身。

由此可知，作用的轨道正好就是π : → 的纤维而轨道空间/和基空间同胚。要求在纤维上自由和推移的作用意味着纤维具有-旋子的结构。一个-旋子是同胚于的空间但没有群的结构，因为它没有一个特定的单位元的选择。

主丛的局部平凡化必须是等变（equivariant）映射，使得纤维的-旋子结构得到保持。确切地说，这表示如果

是一个有${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(p)=(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(p),\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(p))}$ → 要求是一个光滑流形间的光滑映射，要求为李群，而相应的上的作用也要光滑。

最普通的光滑主丛的例子是光滑流形的标架丛。这里，中一点上的纤维是切空间的所有标架（有序的基）。一般线性群（general linear group） GL(,R)在这些标架上简单推移的作用。这些纤维可以一种自然的方式粘在一起，从而得到一个上的主GL(,R)丛。

上面这个例子的变种包括黎曼流形的正交标架丛（orthonormal frame bundle）。这里，标架必须对于度量张量正交。结构群是正交群O().

一个正则（正规）覆叠空间 : → 是一个主丛，其中，结构群${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X)/p_{\ast <!--\; \ast \; -->}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(C)}$上。特别的有，的万有覆叠（universal cover）是以${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X)}$上的主丛。

令为李群而为闭子群。则是/（的左陪集空间）上的主丛。这里在上的作用就是右乘。

射影空间提供了更多主丛的有趣例子。回想一下，-球 是一个实射影空间(real projective space) RP的两层的覆叠空间。 O(1)在上的自然作用给它RP上的主O(1)丛的结构。同样，2+1是一个复射影空间(complex projective space) CP上的主U(1)丛，而4+3是四元数射影空间(quaternionic projective space) HP上的主Sp(1)-丛。这样，对每个正的，我们有一系列的主丛：

这里()表示（用欧氏度量）中的单位球。对于所有这些例子， = 1的情况给出了所谓的霍普夫丛。

如果π : → 是一个光滑主丛，则在上的作用是自由和真（proper）的，使得轨道空间/微分同胚于基空间。事实上，这些性质完全归纳了光滑主从的特征。也就是说，如果是一个光滑流形，是李群而μ : × → 是一个光滑，自由，和真的右作用，则