抛物面

✍ dations ◷ 2025-09-16 14:34:33 #抛物面
抛物面是二次曲面的一种。抛物面有两种:椭圆抛物面和双曲抛物面。椭圆抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为:双曲抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为:当a = b时,曲面称为旋转抛物面,它可以由抛物线绕着它的轴旋转而成。它是抛物面反射器的形状,把光源放在焦点上,经镜面反射后,会形成一束平行的光线。反过来也成立,一束平行的光线照向镜面后,会聚集在焦点上。椭圆抛物面的参数方程为:高斯曲率为:平均曲率为:它们都是正数,在顶点处最大,越远离顶点曲率越小,并趋近于零。双曲抛物面的参数方程为:高斯曲率为:平均曲率为:如果把双曲抛物面顺着+z的方向旋转π/4的角度,则方程为:如果   a = b {displaystyle a=b} ,则简化为:最后,设 a = 2 {displaystyle a={sqrt {2}}} ,我们可以看到双曲抛物面与以下的曲面是全等的:因此它可以视为乘法表的几何表示。两个 R 2 → R {displaystyle mathbb {R} ^{2}rightarrow mathbb {R} } 函数和是调和共轭,它们在一起形成解析函数它是 R → R {displaystyle mathbb {R} rightarrow mathbb {R} } 函数   f ( x ) = 1 2 x 2 {displaystyle f(x)={1 over 2}x^{2}} 的解析延拓。

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