算术-几何平均数

两个正实数和的算术-几何平均数定义如下：

首先计算的算术平均数，称其为₁。然后计算的几何平均数，称其为₁；这是的算术平方根。

然后重复这个步骤，这样便得到了两个数列()和()：

这两个数列收敛于相同的数，这个数称为和的算术-几何平均数，记为M(, )，或agm(, )。

欲计算₀ = 24和₀ = 6的算术-几何平均数，首先算出它们的算术平均数和几何平均数：

然后进行迭代：

继续计算，可得出以下的值：

24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限，大约为13.45817148173。

M(, )是一个介于和的算术平均数和几何平均数之间的数。

如果 > 0，则M(, ) = M(, )。

M(,)还可以写为如下形式：

其中()是第一类完全椭圆积分。

1和${\displaystyle \sqrt{2}}$的算术-几何平均数的倒数，称为高斯常数。

由算术几何不等式可得

因此

这意味着 ${\displaystyle \{g_n\}}$ 是不降序列。同时，因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间，又可以得到该序列是有上界的（${\displaystyle x,y}$ 中的较大者）。根据单调收敛定理，存在 ${\displaystyle g}$ 使得:

然而，我们又有:

从而:

证毕。

该证明由高斯首次提出。令

将积分变量替换为 ${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\prime }}$, 其中

于是可得

因此，我们有

最后一个等式可由 ${\displaystyle I(z,z)=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/(2z)}$ 推出。

于是我们便可得到算术几何平均数的积分表达式：