傅里叶分析

傅里叶分析，是数学的一个分支领域。它研究如何将一个函数或者信号表达为基本波形的叠加。它研究并扩展傅里叶级数和傅里叶变换的概念。基本波形称为调和函数，调和分析因此得名。在过去两个世纪中，它已成为一个广泛的主题，并在诸多领域得到广泛应用，如信号处理、量子力学、神经科学等。

定义于R上的经典傅里叶变换仍然是一个十分活跃的研究领域，特别是在作用于更一般的对象（例如缓增广义函数）上的傅里叶变换。例如，如果在函数或者信号上加上一个分布f，我们可以试图用f的傅里叶变换来表达这些要求。Paley-Wiener定理就是这样的一个例子。Paley-Wiener定理直接蕴涵如果f是紧支撑的一个非零分布，（这包含紧支撑函数），则其傅里叶变换从不拥有紧支撑。这是在调和分析下的测不准原理的一个非常初等的形式。参看经典调和分析。

在希尔伯特空间，傅里叶级数的研究变得很方便，该空间将调和分析和泛函分析联系起来。

拓扑群上的数学分析是调和分析更现代的一个分支，源于20世纪中叶。其主要动机是各种傅里叶变换可以推广为定义在局部紧致阿贝尔群上的函数的变换。关键是证明普朗歇尔定理的类比。

局部紧致阿贝尔群上的调和分析以庞特里亚金对偶性为基石，现已有完整的理论。对于一般的局部紧拓扑群，调和分析的课题是分类其酉表示。主要对象是李群与p-进群。

对于紧群，任何不可约表示必为有限维幺正表示，彼得-外尔定理断言：不可约幺正表示的矩阵系数构成${\displaystyle L^2(G)}$的正交基；映射${\displaystyle f\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(f)}$具有与傅里叶变换相近的性质。借此可以深究紧群的结构。

对于非紧亦非交换的群，须考虑其无穷维表示。目前还没有一般的普朗歇尔定理，不过对${\displaystyle {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n,{\mathrm{S}\mathrm{L}}_n}$等特例已有结果。