数学上,克莱因(Klein)四元群,得名自菲利克斯·克莱因,是最小的非循环群。它有4个元素,除单位元外其阶均为2。
克莱因四元群通常以V表示(来自德文的四元群)。它是阿贝尔群,同构于, , },其运算为加法"+",那么以下为其运算表:
这运算是对合的:∀ ∈ , + = 0。
克莱因四元群可扩展为有限域,称为克莱因域,加入乘法为第二个运算,以0为零元,为单位元。乘法与加法符合分配律。乘法表为:
克莱因四元群是下图的图自同构群。
克莱因四元群3个阶2的元之间的对称性,可以从它在4点上的置换表示看出:
在这表示中,V是交错群4的正规子群,也是4个字母上的对称群4的正规子群。根据伽罗瓦理论,克莱因四元群的存在,而且还具有这特别的表示,解释了四次方程可以用根式求解的原因。