克莱因四元群

✍ dations ◷ 2025-06-23 21:54:07 #有限群

数学上，克莱因（Klein）四元群，得名自菲利克斯·克莱因，是最小的非循环群。它有4个元素，除单位元外其阶均为2。

克莱因四元群通常以V表示（来自德文的四元群）。它是阿贝尔群，同构于 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , , }，其运算为加法"+"，那么以下为其运算表：

这运算是对合的：∀ ∈ , + = 0。

克莱因四元群可扩展为有限域，称为克莱因域，加入乘法为第二个运算，以0为零元，为单位元。乘法与加法符合分配律。乘法表为：

克莱因四元群是下图的图自同构群。

克莱因四元群3个阶2的元之间的对称性，可以从它在4点上的置换表示看出：

在这表示中，V是交错群₄的正规子群，也是4个字母上的对称群₄的正规子群。根据伽罗瓦理论，克莱因四元群的存在，而且还具有这特别的表示，解释了四次方程可以用根式求解的原因。

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