拉格朗日量

在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日量（英语：Lagrangian），又称拉格朗日函数，简称“拉氏量”，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对于一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能，以方程表示为其中， L {displaystyle {mathcal {L}}} 为拉格朗日量， T {displaystyle T} 为动能， V {displaystyle V} 为势能。在分析力学里，假设已知一个系统的拉格朗日量，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加运算，即可求得此系统的运动方程。拉格朗日量是因数学家和天文学家约瑟夫·拉格朗日而命名。在场论，若S ( ϕ ) = ∫ L ( ϕ ( x ) , ∂ ϕ ( x ) , x ) d d x {displaystyle S(phi )=int {mathcal {L}}(phi (x),partial phi (x),x)d^{d}x}是作用量，则拉格朗日方程是δ S δ ϕ = 0 {displaystyle {frac {delta S}{delta phi }}=0}拉格朗日量是动能 T {displaystyle T} 与势能 V {displaystyle V} 的差值：通常，动能的参数为广义速度 q ˙ 1 , q ˙ 2 , q ˙ 3 , … , q ˙ N {displaystyle {dot {q}}_{1},{dot {q}}_{2},{dot {q}}_{3},dots ,{dot {q}}_{N}} （符号上方的点号表示对于时间 t {displaystyle t} 的全导数），而势能的参数为广义坐标 q 1 , q 2 , q 3 , … , q N ; t {displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},dots ,q_{N};t} ，所以，拉格朗日量的参数为 q 1 , q 2 , q 3 , … , q N ; q ˙ 1 , q ˙ 2 , q ˙ 3 , … , q ˙ N ; t {displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},dots ,q_{N};{dot {q}}_{1},{dot {q}}_{2},{dot {q}}_{3},dots ,{dot {q}}_{N};t} 。解析一个问题，最先要选择一个合适的广义坐标。然后，计算出其拉格朗日量。假定这些参数（广义坐标、广义速度）都互相独立，就可以用拉格朗日方程来求得系统的运动方程。假设一个物理系统的拉格朗日量为 L {displaystyle {mathcal {L}}} ，则此物理系统的运动，以拉格朗日方程表示为其中， t {displaystyle t} 是时间， q i {displaystyle q_{i}} 是广义坐标， q ˙ i {displaystyle {dot {q}}_{i}} 是广义速度。一个物理系统的作用量 S {displaystyle {mathcal {S}}} 是一种泛函，以数学方程定义为其中， L ( q , q ˙ , t ) {displaystyle L(mathbf {q} ,{dot {mathbf {q} }},t)} 是系统的拉格朗日量，广义坐标 q = ( q 1 , q 2 , … , q N ) {displaystyle mathbf {q} =left(q_{1},q_{2},ldots ,q_{N}right)} 是时间 t {displaystyle t} 的函数， t 1 {displaystyle t_{1}} 和 t 2 {displaystyle t_{2}} 分别为初始时间和终结时间。假若，作用量的一次变分 δ S = 0 {displaystyle delta {mathcal {S}}=0} ，作用量 S {displaystyle {mathcal {S}}} 为平稳值，则 q ( t ) {displaystyle mathbf {q} (t)} 正确地描述这物理系统的真实演化。从这变分运算，可以推导出拉格朗日方程详尽相关导引，请参阅拉格朗日方程。思考拉格朗日量对于时间的全导数：将拉格朗日方程代入，可以得到定义能量函数 h ( q 1 , q 2 , q 3 , … ; q ˙ 1 , q ˙ 2 , q ˙ 3 , … ; t ) {displaystyle {mathit {h}}(q_{1},q_{2},q_{3},dots ;{dot {q}}_{1},{dot {q}}_{2},{dot {q}}_{3},dots ;t)} 为则能量函数与拉格朗日量有以下含时关系式：假若拉格朗日量显性地与时间无关， ∂ L ∂ t = 0 {displaystyle {frac {partial {mathcal {L}}}{partial t}}=0} ，则能量函数是个常数： h = E {displaystyle {mathit {h}}=E} 。称这常数 E {displaystyle E} 为这物理系统的能量。因此，这物理系统的能量守恒。拉格朗日表述是经典力学的一种重新表述。拉格朗日表述的重要性，不只是因为它可以广泛应用在经典力学；而更是因为它能够帮助物理学家更深刻地了解一个物理系统的物理行为。虽然拉格朗日只是在寻找一种表述经典力学的方法，他用来推导拉格朗日方程的平稳作用量原理，现在已被学术界公认为在量子力学也极具功用。拉格朗日量有一个优良的性质，那就是守恒定律可以很容易地从它的表达式读出来。例如，假设拉格朗日量 L {displaystyle {mathcal {L}}} 跟某广义速度 q ˙ 2 {displaystyle {dot {q}}_{2}} 有关，而跟广义坐标 q 2 {displaystyle q_{2}} 无关，则对应的广义动量 p 2 {displaystyle p_{2}} 是一个守恒量。这种坐标称为“可略坐标”，或“循环坐标”。更详细地说，拉格朗日量的形式为直接检视，就可以发觉 L {displaystyle {mathcal {L}}} 跟 q 2 {displaystyle q_{2}} 无关，因此可以推断 p 2 {displaystyle p_{2}} 是一个守恒量。以此类推，假设，时间 t {displaystyle t} 不在 L {displaystyle {mathcal {L}}} 的表达式里面，则哈密顿量守恒，即能量守恒。这种物理行为是诺特定理的一个特别案例。关于能量守恒问题，稍后会有更详细解说。假设，在三维空间里，一个运动中的粒子的动能为 T = 1 2 m r ˙ 2 = 1 2 m ( x 1 ˙ 2 + x 2 ˙ 2 + x 3 ˙ 2 ) {displaystyle T={frac {1}{2}}m{dot {mathbf {r} }}^{2}={frac {1}{2}}m({dot {x_{1}}}^{2}+{dot {x_{2}}}^{2}+{dot {x_{3}}}^{2})} ，势能为 V ( r ) {displaystyle V(r)} ，则拉格朗日量是其中， m {displaystyle m} 是粒子质量， r {displaystyle mathbf {r} } 是位置矢量， v {displaystyle v} 是粒子的速度。采用直角坐标系。那么，拉格朗日方程就是其中， x i {displaystyle x_{i}} 是位置矢量 r {displaystyle mathbf {r} } 的第 i {displaystyle i} 个直角坐标分量。那么，这物理系统的运动方程为由于势能对于位置的负梯度是作用力： F = − ∇ V ( r ) {displaystyle mathbf {F} =-{boldsymbol {nabla }}V(r)} ，所以，这方程与牛顿第二定律方程完全相同。由此可以观察出，拉格朗日表述与牛顿表述的功能相等。能量函数 h {displaystyle {mathit {h}}} 为由于拉格朗日量显性地与时间无关，能量函数 h {displaystyle {mathit {h}}} 是个常数 E {displaystyle E} 。假设选择球坐标系，则拉格朗日量是其中， r {displaystyle r} 是径向距离， θ {displaystyle theta } 是天顶角， φ {displaystyle varphi } 是方位角。稍加运算，得到运动方程为：特别注意， L {displaystyle {mathcal {L}}} 跟 φ {displaystyle varphi } 无关。所以， φ {displaystyle varphi } 是可略坐标，角动量的z-分量 L z = m r 2 sin 2 ⁡ θ φ ˙ {displaystyle L_{z}=mr^{2}sin ^{2}theta {dot {varphi }}} 是常数。假定检验粒子的质量和电荷超小，其对于外在系统的影响可以忽略。检验粒子时常可以想像为简单的质点粒子，只拥有质量和电荷性质。像电子或上夸克一类的真实粒子具有更复杂的性质，它们的拉格朗日量含有更多项目。在狭义相对论的四维空间里，一个移动中的粒子的相对论性拉格朗日量可以写为其中， m {displaystyle m} 是粒子的静质量， c {displaystyle c} 是光速， v {displaystyle v} 是粒子的速度。其拉格朗日方程为其中， γ = 1 / 1 − v 2 / c 2 {displaystyle gamma =1/{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 是洛伦兹因子。注意到动量 p i = γ m x ˙ i {displaystyle p_{i}=gamma m{dot {x}}_{i}} 、作用力 F i = −   ∂ V ∂ x i {displaystyle F_{i}=- {frac {partial V}{partial x_{i}}}} 。将这些公式代入拉格朗日方程，就可复制牛顿第二定律的方程：因此，这拉格朗日量被认定为正确无误。这粒子的广义动量 p i {displaystyle p_{i}} 定义为一个移动于电磁场的带电粒子的相对论性拉格朗日量可以写为其中， q {displaystyle q} 是带电粒子的电荷量， ϕ {displaystyle phi } 是电势， A {displaystyle mathbf {A} } 是磁矢势。其拉格朗日方程为所以，注意到作用力 F = d d t ( γ m x ˙ i ) {displaystyle mathbf {F} ={frac {d}{dt}}(gamma m{dot {x}}_{i})} ，电场 E = − ∇ ϕ {displaystyle mathbf {E} =-nabla phi } ，磁场 B = ∇ × A {displaystyle mathbf {B} =nabla times mathbf {A} } 。将这些公式代入上述方程，经过一番运算，就可以得到洛伦兹力方程：这拉格朗日量可以复制出洛伦兹力方程。因此，这拉格朗日量被认定为正确无误。前面这些拉格朗日量都不具有协变形式，当变换坐标系时，拉格朗日量的形式可能会有所改变。为了确保这形式不会改变，必须将拉格朗日量写为协变形式。对于自由粒子，作用量 A {displaystyle {mathcal {A}}} 为其中， t 1 {displaystyle t_{1}} 和 t 2 {displaystyle t_{2}} 分别是初始时间和终结时间。为了要使得拉格朗日量具有协变形式，必须引用张量来表达。采用爱因斯坦求和约定，注意到四维速度与自己的内积：其中， U α = X ′ μ = d X α d τ = γ ( c , v 1 , v 2 , v 3 ) {displaystyle U^{alpha }=X^{prime mu }={frac {dX^{alpha }}{dtau }}=gamma (c,v_{1},v_{2},v_{3})} 是四维速度，是四维坐标 X α = ( c t , x 1 , x 2 , x 3 ) {displaystyle X^{alpha }=(ct,x_{1},x_{2},x_{3})} 对于固有时 τ {displaystyle tau } 的导数（撇号表示对于固有时 τ {displaystyle tau } 的导数）。将积分元素从微小时间元素 d t {displaystyle dt} 改变为微小固有时元素 d τ {displaystyle dtau } ，由于 d t = γ d τ {displaystyle dt=gamma dtau } ，协变的作用量可以写为协变的拉格朗日量 L ¯ {displaystyle {bar {mathcal {L}}}} 变为其中， g α β {displaystyle g_{alpha beta }} 是闵可夫斯基度规。其拉格朗日方程为注意到约束 U α U α = γ 2 ( c 2 − v 2 ) = c 2 {displaystyle U^{alpha }U_{alpha }=gamma ^{2}(c^{2}-v^{2})=c^{2}} ，这粒子只能运动于四维速度空间内的特定的三维曲面。将这约束代入上述方程，可以正确地复制自由粒子的运动方程。现在假设这粒子是移动于电磁场的带电粒子。电磁场的协变位势可以写为其中， A α = ( ϕ / c , − A 1 , − A 2 , − A 3 ) {displaystyle mathbb {A} _{alpha }=(phi /c,-A_{1},-A_{2},-A_{3})} 是电磁四维势。协变的拉格朗日量 L ¯ {displaystyle {bar {mathcal {L}}}} 是其拉格朗日方程为经过一番运算，可以得到其中， F μ α {displaystyle F_{mu alpha }} 是电磁张量。这正是洛伦兹力方程的协变形式。总结，协变的拉格朗日方程可以复制出协变的洛伦兹力方程。S [ A ] = ∫ M ( − 1 2 F ∧ ⋆ F + A ∧ ⋆ J ) {displaystyle {mathcal {S}}=int _{mathcal {M}}left(-{frac {1}{2}},mathbf {F} wedge star mathbf {F} +mathbf {A} wedge star mathbf {J} right)}d ⋆ F = J {displaystyle mathrm {d} {star }mathbf {F} =mathbf {J} }d F = 0 {displaystyle mathrm {d} mathbf {F} =0}L Q E D = i ℏ c ψ ¯ D /   ψ − m c 2 ψ ¯ ψ − 1 4 μ 0 F μ ν F μ ν {displaystyle {mathcal {L}}_{mathrm {QED} }=ihbar c{bar {psi }}{D}!!!!/ psi -mc^{2}{bar {psi }}psi -{1 over 4mu _{0}}F_{mu nu }F^{mu nu }}L Q C D = ∑ n ( i ℏ c ψ ¯ n D /   ψ n − m n c 2 ψ ¯ n ψ n ) − 1 4 G α μ ν G α μ ν {displaystyle {mathcal {L}}_{mathrm {QCD} }=sum _{n}left(ihbar c{bar {psi }}_{n}{D}!!!!/ psi _{n}-m_{n}c^{2}{bar {psi }}_{n}psi _{n}right)-{1 over 4}G^{alpha }{}_{mu nu }G_{alpha }{}^{mu nu }}包括QED、量子色动力学、等L GR = L EH + L matter = c 4 16 π G ( R − 2 Λ ) + L matter {displaystyle {mathcal {L}}_{text{GR}}={mathcal {L}}_{text{EH}}+{mathcal {L}}_{text{matter}}={frac {c^{4}}{16pi G}}left(R-2Lambda right)+{mathcal {L}}_{text{matter}}}R μ ν − 1 2 R g μ ν + g μ ν Λ = 8 π G c 4 T μ ν {displaystyle R_{mu nu }-{frac {1}{2}}Rg_{mu nu }+g_{mu nu }Lambda ={frac {8pi G}{c^{4}}}T_{mu nu }}T μ ν ≡ − 2 − g δ ( L m a t t e r − g ) δ g μ ν = − 2 δ L m a t t e r δ g μ ν + g μ ν L m a t t e r {displaystyle T_{mu nu }equiv {frac {-2}{sqrt {-g}}}{frac {delta ({mathcal {L}}_{mathrm {matter} }{sqrt {-g}})}{delta g^{mu nu }}}=-2{frac {delta {mathcal {L}}_{mathrm {matter} }}{delta g^{mu nu }}}+g_{mu nu }{mathcal {L}}_{mathrm {matter} }}L ( x ) = j μ ( x ) A μ ( x ) − 1 4 μ 0 F μ ν ( x ) F ρ σ ( x ) g μ ρ ( x ) g ν σ ( x ) + c 4 16 π G R ( x ) = L Maxwell + L Einstein-Hilbert {displaystyle {begin{aligned}{mathcal {L}}(x)&=j^{mu }(x)A_{mu }(x)-{1 over 4mu _{0}}F_{mu nu }(x)F_{rho sigma }(x)g^{mu rho }(x)g^{nu sigma }(x)+{frac {c^{4}}{16pi G}}R(x)\&={mathcal {L}}_{text{Maxwell}}+{mathcal {L}}_{text{Einstein-Hilbert}}end{aligned}}}T μ ν ( x ) = 2 − g ( x ) δ δ g μ ν ( x ) S Maxwell = 1 μ 0 ( F   λ μ ( x ) F ν λ ( x ) − 1 4 g μ ν ( x ) F ρ σ ( x ) F ρ σ ( x ) ) {displaystyle T^{mu nu }(x)={frac {2}{sqrt {-g(x)}}}{frac {delta }{delta g_{mu nu }(x)}}{mathcal {S}}_{text{Maxwell}}={frac {1}{mu _{0}}}left(F_{{text{ }}lambda }^{mu }(x)F^{nu lambda }(x)-{frac {1}{4}}g^{mu nu }(x)F_{rho sigma }(x)F^{rho sigma }(x)right)}T = g μ ν T μ ν = 0 {displaystyle T=g_{mu nu }T^{mu nu }=0}R = − 8 π G c 4 T {displaystyle R=-{frac {8pi G}{c^{4}}}T}R μ ν = 8 π G c 4 1 μ 0 ( F   λ μ ( x ) F ν λ ( x ) − 1 4 g μ ν ( x ) F ρ σ ( x ) F ρ σ ( x ) ) {displaystyle R^{mu nu }={frac {8pi G}{c^{4}}}{frac {1}{mu _{0}}}left(F_{{text{ }}lambda }^{mu }(x)F^{nu lambda }(x)-{frac {1}{4}}g^{mu nu }(x)F_{rho sigma }(x)F^{rho sigma }(x)right)}D μ F μ ν = − μ 0 j ν {displaystyle D_{mu }F^{mu nu }=-mu _{0}j^{nu }}d s 2 = ( 1 − 2 M r + Q 2 r 2 ) d t 2 − ( 1 − 2 M r + Q 2 r 2 ) − 1 d r 2 − r 2 d Ω 2 {displaystyle ds^{2}=left(1-{frac {2M}{r}}+{frac {Q^{2}}{r^{2}}}right)dt^{2}-left(1-{frac {2M}{r}}+{frac {Q^{2}}{r^{2}}}right)^{-1}dr^{2}-r^{2}dOmega ^{2}}