凯莱定理

在群论中，凯莱定理，以阿瑟·凯莱命名，声称所有群 同构于在上的对称群的子群。这可以被理解为在的元素上的群作用的一个例子。

集合的排列是任何从到的双射函数；所有这种函数的集合形成了在函数复合下的一个群，叫做“上的对称群”并写为Sym()。

凯莱定理通过把任何群（包括无限群比如(,+)）都当作某个底层集合的置换群，把所有群都放在了同一个根基上。因此，对置换群成立的定理对于一般群也成立。

Burnside将其归功于Jordan，但是 Eric Nummela争论说这个定理的名字“凯莱定理”事实上是合适的。凯莱在他最初介绍群概念的1854年论文中证明了定理中的对应是一一对应，但是没能明确的证明它是同态(因此是同构)。但是，Nummela提示大家注意凯莱让当时的数学界知道了这个结果，因此比Jordan要提前了16年。

从初等群论中，知道了对于任何中元素必然有* = ；并通过消除规则知道了* = *当且仅当 = 。所以左乘充当了双射函数 : → ，通过定义() = *。所以，是的排列，并因此是Sym()的成员。

Sym()的子集定义为

是同构于的Sym()的子群。得出这个结果的最快方式是考虑函数 : → Sym()对于所有中的有着() = 。(对Sym()中的复合使用"·")，是群同态因为：

同态也是单射因为：() = id（Sym()的单位元）蕴含了对于所有中的有 = ，选取为的单位元产生 = * = 。可替代的，()也是单射因为：*=*蕴含=（通过左乘上的逆元，因为是群所以一定存在）。

因此同构于的像，它是子群。

有时叫做的正规表示。

另一个证明使用了群作用的语言。考虑群${\displaystyle G}$为G-集合，可以证明它有排列表示${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$。

首先假设${\displaystyle G=G/H}$带有${\displaystyle H=\{e\}}$。则根据G-轨道分类这个群作用是${\displaystyle g.e}$（也叫做轨道-稳定集定理）。

现在这个表示是忠实的，如果${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$是单射，就是说，如果${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$的核是平凡的。假设${\displaystyle g}$ ∈ ker ${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$，则${\displaystyle g=g.e=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(g).e}$，通过排列表示和群作用的等价性。但是因为${\displaystyle g}$ ∈ ker ${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$, ${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(g)=e}$并因此ker ${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$是平凡的。则im 并因此利用第一同构定理得出结论。

单位元对应于恒等排列。所有其他的群元素对应于不留下任何元素不变的排列。会因为这也适用于群元素的幂，小于这个元素的阶，每个元素对应于由相同长度的环构成的排列：这个长度是这个元素的阶。在每个环中的元素形成了这个元素生成的子群的左陪集。

Z₂ = {0,1}带有模2加法，群元素0对应于恒等排列e，群元素1对应于排列 (12)。

Z₃ = {0,1,2}带有模3加法；群元素0对应于恒等排列e，群元素1对应于排列 (123)，而群元素2对应于排列 (132)。比如1 + 1 = 2对应于 (123)(123)=(132)。

Z₄ = {0,1,2,3}带有模4加法；它的元素对应于e, (1234), (13)(24), (1432)。

克莱因四元群{e, a, b, c}的元素对应于e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。

S₃（6阶二面体群）是三个对象的所有排列的群，但也是6个群元素的置换群：