哈密顿原理

在物理学里，哈密顿原理（英语：Hamilton's principle）是爱尔兰物理学家威廉·哈密顿于1833年发表的关于平稳作用量原理的表述。哈密顿原理阐明，一个物理系统的拉格朗日函数，所构成的泛函的变分问题解答，可以表达这物理系统的动力行为。拉格朗日函数又称为拉格朗日量，包含了这物理系统所有的物理内涵。这泛函称为作用量。哈密顿原理提供了一种新的方法来表述物理系统的运动。不同于牛顿运动定律的微分方程方法，这方法以积分方程来设定系统的作用量，在作用量平稳的要求下，使用变分法来计算整个系统的运动方程。虽然哈密顿原理本来是用来表述经典力学，这原理也可以应用于经典场，像电磁场或重力场，甚至可以延伸至量子场论等等。微分方程时常被用来表述物理定律。微分方程指定出，随着极小的时间、位置、或其他变数的变化，一个物理变数如何改变。总合这些极小的改变，又加上已知这变数在某一点的数值或导数值，就能求得物理变数在任何点的数值。哈密顿原理用积分方程来表述物理系统的运动。我们只需要设定系统在两个点的状态，叫做最初状态与最终状态。然后，经过求解系统作用量的平稳值，我们可以得到系统在，两个点之间，其他点的状态。不但是关于经典力学中的一个单独粒子，而且也关于经典场像电磁场与万有引力场，这表述都是正确的。更值得一提的是，现今，哈密顿原理已经延伸至量子力学与量子场论了。用变分法数学语言来表述，求解一个物理系统作用量的平稳值（通常是最小值），可以得到这系统随时间的演变（就是说，系统怎样从一个状态演变到另外一个状态）。更广义地，系统的正确演变对于任何摄动必须是平稳的。这要求导致出描述正确演变的微分方程。哈密顿原理阐明，一个物理系统的拉格朗日函数 L {displaystyle L,} 所构成的作用量泛函 S {displaystyle {mathcal {S}},} ，其平稳值是这物理系统的真实演化。以数学方程表示，定义作用量为其中， L ( q , q ˙ , t ) {displaystyle L(mathbf {q} ,{dot {mathbf {q} }},t),} 是系统的拉格朗日函数，广义坐标 q = ( q 1 , q 2 , … , q N ) {displaystyle mathbf {q} =left(q_{1},q_{2},ldots ,q_{N}right),} 是时间 t {displaystyle t,} 的函数， t 1 {displaystyle t_{1},} 和 t 2 {displaystyle t_{2},} 分别为初始时间和终结时间。假若，作用量的一次变分 δ S = 0 {displaystyle delta {mathcal {S}}=0,} ，作用量 S {displaystyle {mathcal {S}},} 为平稳值，则 q ( t ) {displaystyle mathbf {q} (t),} 正确地描述这系统的真实演化。:2从哈密顿原理可以推导出拉格朗日方程。假设 q ( t ) {displaystyle mathbf {q} (t),} 是系统的正确运动，摄动函数 ε ( t ) {displaystyle {boldsymbol {varepsilon }}(t),} 为一个虚位移 δ q {displaystyle delta mathbf {q} ,} ，虚位移在轨道的两个端点的值是零：取至 ε ( t ) {displaystyle {boldsymbol {varepsilon }}(t),} 的一阶摄动，作用量泛函的一次变分为这里，我们将拉格朗日量 L {displaystyle L,} 展开至 ε ( t ) {displaystyle {boldsymbol {varepsilon }}(t),} 的一阶摄动。应用分部积分法于最右边项目：边界条件 ε ( t 1 ) = ε ( t 2 )   = d e f   0 {displaystyle {boldsymbol {varepsilon }}(t_{1})={boldsymbol {varepsilon }}(t_{2}) {stackrel {mathrm {def} }{=}} 0,} 使第一个项目归零：作用量泛函 S {displaystyle {mathcal {S}},} 平稳的要求意味着，对于正确运动的任意摄动 ε ( t ) {displaystyle {boldsymbol {varepsilon }}(t),} ，一次变分 δ S {displaystyle delta {mathcal {S}},} 必须等于零：特别注意，我们没有对广义坐标 q {displaystyle mathbf {q} ,} 做任何要求。在这里，我们要求所有的广义坐标都互不相依；也就是说，这系统是完整系统。这样，我们可以应用变分法基本引理而得到拉格朗日方程：在各个物理学领域，拉格朗日方程都被认为是非常重要的方程，能够用来精确地理论分析许多物理系统。:2-3