朱世杰恒等式

✍ dations ◷ 2025-11-21 08:16:48 #组合数学

朱世杰恒等式是组合数的一阶求和公式。

$\sum _{i=m}^{n}{\binom {i}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}-{\binom {m}{a+1}}$ $\sum_{i=m}^n \binom ia = \binom {n+1}{a+1} - \binom {m}{a+1}$

从 $n {\displaystyle n}$ $n$ 元集 $S=\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\}$ $S=\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\}$ 选 $r {\displaystyle r}$ $r$ 个元素，有 ${\binom {n}{r}}$ $\binom nr$ 种方法。

必有 $a_{1}$ $a_{1}$ 时，在 $n-1$ $n-1$ 个元素中选 $r-1$ $r-1$ 个元素，排除 $a_{1}$ $a_{1}$ ，必有 $a_{2}$ $a_2$ 时，在 $n-2$ $n-2$ 个元素中选 $r-1$ $r-1$ 个元素，排除 $a_{2}$ $a_2$ ，如此类推，直到必有 $a_{n-r+1}$ $a_{n-r+1}$ 时，在 $r-1$ $r-1$ 个元素中选 $r-1$ $r-1$ 个元素。

$\sum _{k=r}^{n}{\binom {k-1}{r-1}}={\binom {n}{r}}$ $\sum_{k=r}^n \binom {k-1}{r-1} =\binom nr$

朱世杰恒等式可应用于等幂求和问题。例如：

相关

脑脊髓液脑脊液或脑脊髓液（Cerebrospinal fluid）是充满在脑部内颅骨与大脑皮质之间的蛛网膜下腔的透明体液，准确的来说是位于脑膜的蛛网膜和软脑膜之间。它是一种含有微神经胶细胞的纯
贫富差距中华人民共和国贫富不均是指在中华人民共和国的社会中，个人收入和财富不均衡的现象。中国共产党取得中国大陆统治权后，中国内地在改革开放前一直属于一个社会财富所有权分配平
豹海豹豹海豹（学名：Hydrurga leptonyx），又称豹形海豹或豹斑海豹，属于海豹科，是豹海豹属的唯一一种。豹海豹在南极地区是仅次于南象海豹的体型第二大的海豹。虎鲸是豹海豹唯一的天敌。豹
吴市吴市（日语：呉市／くれし Kure shi */?）是位于日本广岛县西南部的都市，临濑户内海，自古以来即为海军重镇。人口约23万人，是广岛县内仅次于广岛市和福山市的第三大城市。已于2016年
蔗虾蔗虾，是越南餐馆里常见的菜色，跟越南春卷、越南牛肉粉、扎肉等一样有名。制作方法非常简单，先将虾仁去壳清洗干净，用刀背将它压成泥后再剁至虾蓉状，下调味料搅拌然后重复摔打成虾
马来西亚反贪污委员会最高元首后东姑阿兹纱阿蜜娜（英语：Tunku Azizah Aminah Maimunah）副最高元首苏丹纳兹林沙（马来语：Sultan Nazrin Muizuddin Shah ibni Sultan Azlan Muhibbuddin Shah）副首相（不
2012年斯洛伐克国民议会选举2012年斯洛伐克国会选举于2012年3月10日投票。这次选举是在2012年斯洛伐克国民议会解散之后进行。在这次选举中，罗伯特·菲乔领导的方向－社会民主党获得胜利，取得了83个议席。
艾美·杜辛艾美·杜辛（Ahmet Dursun，1978年01月15日－），出生于盖尔森基兴，土耳其职业足球运动员，司职前锋。像许多比锡达斯球员一样，他在德国开始他的职业生涯时，效力韦顿舒利特。 1996年，他转会
黄坛国黄坛国，是指1992年在江苏阜宁县，由黄坛教创始人朱良美为首成立的一个秘密结社政权。江苏盐城阜宁县戴舍村人朱良美之父朱兴隆（别名朱拐子，道名朱宫绪；残疾人）于1943年至1945年期间
白吕纳白吕纳（法语：Jean Brunhes，1869年10月25日－1930年8月25日）是一位法国人文地理学家。生于图卢兹。曾在巴黎高等师范学校学习，1892年取得历史学和地理学的教师资格。曾先后在瑞士弗