朱世杰恒等式

✍ dations ◷ 2025-04-02 10:52:48 #组合数学

朱世杰恒等式是组合数的一阶求和公式。

i = m n ( i a ) = ( n + 1 a + 1 ) ( m a + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {i}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}-{\binom {m}{a+1}}}

n {\displaystyle n} 元集 S = { a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n } {\displaystyle S=\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\}} r {\displaystyle r} 个元素,有 ( n r ) {\displaystyle {\binom {n}{r}}} 种方法。

必有 a 1 {\displaystyle a_{1}} 时,在 n 1 {\displaystyle n-1} 个元素中选 r 1 {\displaystyle r-1} 个元素,排除 a 1 {\displaystyle a_{1}} ,必有 a 2 {\displaystyle a_{2}} 时,在 n 2 {\displaystyle n-2} 个元素中选 r 1 {\displaystyle r-1} 个元素,排除 a 2 {\displaystyle a_{2}} ,如此类推,直到必有 a n r + 1 {\displaystyle a_{n-r+1}} 时,在 r 1 {\displaystyle r-1} 个元素中选 r 1 {\displaystyle r-1} 个元素。

k = r n ( k 1 r 1 ) = ( n r ) {\displaystyle \sum _{k=r}^{n}{\binom {k-1}{r-1}}={\binom {n}{r}}}

朱世杰恒等式可应用于等幂求和问题。例如:

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