朱世杰恒等式

✍ dations ◷ 2025-12-09 16:00:45 #组合数学

朱世杰恒等式是组合数的一阶求和公式。

$\sum _{i=m}^{n}{\binom {i}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}-{\binom {m}{a+1}}$ $\sum_{i=m}^n \binom ia = \binom {n+1}{a+1} - \binom {m}{a+1}$

从 $n {\displaystyle n}$ $n$ 元集 $S=\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\}$ $S=\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\}$ 选 $r {\displaystyle r}$ $r$ 个元素，有 ${\binom {n}{r}}$ $\binom nr$ 种方法。

必有 $a_{1}$ $a_{1}$ 时，在 $n-1$ $n-1$ 个元素中选 $r-1$ $r-1$ 个元素，排除 $a_{1}$ $a_{1}$ ，必有 $a_{2}$ $a_2$ 时，在 $n-2$ $n-2$ 个元素中选 $r-1$ $r-1$ 个元素，排除 $a_{2}$ $a_2$ ，如此类推，直到必有 $a_{n-r+1}$ $a_{n-r+1}$ 时，在 $r-1$ $r-1$ 个元素中选 $r-1$ $r-1$ 个元素。

$\sum _{k=r}^{n}{\binom {k-1}{r-1}}={\binom {n}{r}}$ $\sum_{k=r}^n \binom {k-1}{r-1} =\binom nr$

朱世杰恒等式可应用于等幂求和问题。例如：

相关

技能技能（英语：Skill），泛指有别于天赋，必须耗费时间经由学习、训练或工作经验，才能获得的能力。通常也会将技术涵盖在“专业技能”之内。由于技能的获得有其相依性，像是写作源自于写，演
尼曼匹克症尼曼匹克症（Niemann-Pick disease），是一种脂质代谢异常的遗传疾病。过量脂类累积于病人的肝脏、肾脏、脾脏、骨髓等，甚至脑部，而造成这些器官的病变。遗传模式为体染色体隐性遗传
钱德勒摆动钱德勒摆动（Chandler wobble），又译为钱德勒震颤，是地球自转轴相对于地球表面的小幅度运动，由美国天文学家赛斯·卡罗·钱德勒发现于1891年。该运动以433日周期在地球表面摆动。钱
受害者受害者（victim），是社会冲突事件中受伤害或损害的一方。伤害包括精神、身体、财产或名誉方面。在民法上，受害者可以向加害者提起诉讼，要求民事赔偿，赔偿可以是金钱上的或者是精神上
双北公共运输定期票柯文哲系列柯P新政柯P新政建设柯文哲现象争议政党歌曲其它相关双北公共运输定期票，通称1280定期月票或1280，是由台北市政府与新北市政府共同推出的公共运输定期票
弗拉基米尔·弗谢沃洛多维奇·克拉伊涅夫弗拉基米尔·弗谢沃洛多维奇·克拉伊涅夫（俄语：Владимир Всеволодович Крайнев，转写：Vladimir Vsevolodovich Krainev，1944年4月1日－2011年4月29日），俄
佳能 EF 75-300mm 镜头佳能 EF 75-300mm 镜头是一系列由佳能公司生产的变焦镜头，一共有下列几种型号：当75-300mm镜头用于佳能数码EOS系列的APS-C幅面机身（如佳能 EOS 550D）时，75-300mm的视角会变窄，其
十二律十二律是中国传统音乐使用的音律，后来逐渐传入到朝鲜、日本、越南等东南亚国家。律，本来是用来定音的竹管，古人用12个不同长度的律管，吹出12个高度不同的标准音高，以定出音阶的高
林轨迹林轨迹（Hayashi track）是原恒星在赫罗图上经历原恒星云之后达到趋近静力学平衡的路径。1961年林忠四郎显示有一个最小的有效温度（相当于在赫罗图的右侧边界）存在，这个临界温度大
美国国防部科研委员会国防部科研委员会（英语：National Defense Research Committee，简称英语：NDRC）是1940年6月27日至1941年6月28日期间，美国为“协调、监督、进行战争物资设计、制作、使用相关的科学