朱世杰恒等式

✍ dations ◷ 2025-04-26 12:45:39 #组合数学

朱世杰恒等式是组合数的一阶求和公式。

$\sum _{i=m}^{n}{\binom {i}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}-{\binom {m}{a+1}}$ $\sum_{i=m}^n \binom ia = \binom {n+1}{a+1} - \binom {m}{a+1}$

从 $n {\displaystyle n}$ $n$ 元集 $S=\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\}$ $S=\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\}$ 选 $r {\displaystyle r}$ $r$ 个元素，有 ${\binom {n}{r}}$ $\binom nr$ 种方法。

必有 $a_{1}$ $a_{1}$ 时，在 $n-1$ $n-1$ 个元素中选 $r-1$ $r-1$ 个元素，排除 $a_{1}$ $a_{1}$ ，必有 $a_{2}$ $a_2$ 时，在 $n-2$ $n-2$ 个元素中选 $r-1$ $r-1$ 个元素，排除 $a_{2}$ $a_2$ ，如此类推，直到必有 $a_{n-r+1}$ $a_{n-r+1}$ 时，在 $r-1$ $r-1$ 个元素中选 $r-1$ $r-1$ 个元素。

$\sum _{k=r}^{n}{\binom {k-1}{r-1}}={\binom {n}{r}}$ $\sum_{k=r}^n \binom {k-1}{r-1} =\binom nr$

朱世杰恒等式可应用于等幂求和问题。例如：

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