半长轴

半长轴是几何学中的名词，用来描述椭圆和双曲线的维度。与之对应的就是长轴，半长轴为长轴的一半，一般描述椭圆的最长的直径。一个椭圆的长轴是内部最长的直径，他会通过中心和两个焦点，末端结束于型状最宽处的点。半长轴是长轴的一半，始于中心点经过一个焦点并终结于椭圆的边界。在圆型的特殊状况下，半长轴就是半径。半长轴的长度 a {displaystyle a!} 与半短轴 b {displaystyle b,!} 的关系可以经由离心率 e {displaystyle e,!} 和半正焦弦 ℓ {displaystyle ell ,!} 推导如下：抛物线可以被视为是椭圆的极限，将一个焦点固定，而另一个焦点被随意的移至无穷远处的方向上，但 ℓ {displaystyle ell ,!} 仍保持不变。因此 a {displaystyle a,!} 和 b {displaystyle b,!} 趋于无限大， a {displaystyle a,!} 仍比 b {displaystyle b,!} 长。半长轴是椭圆的一个焦点至边界的最大距离和最小距离的平均值。现在考虑在极坐标中的方程，其中一个焦点位于原点，另一个焦点在x轴上，均值由 r = ℓ 1 + e {displaystyle r={ell over {1+e}},!} 和 r = ℓ 1 − e {displaystyle r={ell over {1-e}},!} ，是 a = ℓ 1 − e 2 {displaystyle a={ell over {1-e^{2}}},!} .双曲线的半长轴是两个分支之间距离的一半。如果a是在X-轴的方向上，则方程可以表示为：( x − h ) 2 a 2 − ( y − k ) 2 b 2 = 1 {displaystyle {frac {left(x-hright)^{2}}{a^{2}}}-{frac {left(y-kright)^{2}}{b^{2}}}=1}在这个项目中的半正焦弦和离心率如下：a = ℓ e 2 − 1 {displaystyle a={ell over e^{2}-1}}双曲线的横轴延伸方向与半长轴的方向一致。为什么我在太空动力学，以圆或椭圆轨道环绕中心天体运转的小天体的轨道周期 T {displaystyle T} ，是：此处：无论离心率是如何，半长轴相同的椭圆都有相同的轨道周期。在天文学，是轨道的轨道元素中最重要的，他决定了轨道周期。对太阳系内的天体，半长轴与轨道周期的关系由开普勒第三定律（原本只是经验公式）来描述：此处T是周期，单位为年；a是半长轴，单位为AU。这个形式就是牛顿的二体问题简化后的形式：此处G是重力常数，M是中心天体的质量，而m是轨道上天体的质量。通常，当中心天体的值量远大于环绕的天体时，m的质量可以忽略不计。座著这样的假设和简化之后，开普勒发现的以天文单位简化的形式就出现了。值得注意的是，在轨道上的天体和主要的天体环绕着质心运动的路径都是椭圆形。在天文学上的半长径总是主、伴两星之间的距离，因此行星的轨道参数都是以太阳为中心的项目。在"主体为中心"和"绝对"轨道之间的差别通过对地月系统的认是说明可以有更清楚的认识。质量的比是81.30059，地心的月球轨道半长轴是384,400公里；另一方面，"质心"的月球轨道半长轴是379,700公里，两著的差别是4,700公里。月球相对于质心的平均轨道速度是1.010公里/秒，地球是0.012公里/秒，两者之和是1.022公里/秒；同样的，以地心的半长轴得到的月球轨道速度也是1.022公里/秒。经常会说半长轴是主伴两天体的平均距离，其实这样说是不够精确的，这与如何取得平均值有关。椭圆的平均半径，是以几何上的中心来测量的，其值为 a b = a 1 − e 2 4 {displaystyle {sqrt {ab}}=a{sqrt{1-e^{2}}},!} 。时间的平均值与半径成反比， r − 1 {displaystyle r^{-1},!} ，是 a − 1 {displaystyle a^{-1},!} 。在太空动力学半长轴 a {displaystyle a} ，可以从轨道状态向量得到：a = − μ 2 ϵ {displaystyle a={-mu over {2epsilon }}} ，（椭圆轨道）和a = μ 2 ϵ {displaystyle a={mu over {2epsilon }}} ，（双曲线弹道）和ϵ = v 2 2 − μ | r | {displaystyle epsilon ={v^{2} over {2}}-{mu over left|mathbf {r} right|}} (特殊轨道能量）和μ = G M {displaystyle mu =GM} ，（标准重力参数），此处：要注意的是，对特定的中心天体和总比能，无论离心率是多少，半长轴是一个定值。换言之，对特定的一个中心天体和半长轴，则具有的总比能是一定的。国际太空站（ International Space Station，ISS）的轨道周期是91.74分，它的轨道半长轴是6,738公里 。Every minute more corresponds to ca. 50 km more: the extra 300 km of orbit length takes 40 seconds, the lower speed accounts for an additional 20 seconds.