离散傅里叶级数

✍ dations ◷ 2025-04-03 11:57:02 #数字信号处理,傅里叶级数

离散傅里叶级数(DFS)与连续傅立叶级数相比有很大的区别。最大的不同在于离散时间傅里叶级数的系数串行是周期的。

周期为N的周期串行 { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} ,其离散傅里叶级数为 { x k } {\displaystyle \left\{x_{k}\right\}}

x = n =< N > a n e i n ( 2 π N ) k {\displaystyle x=\sum _{n=<N>}a_{n}\cdot e^{-in({\frac {2\pi }{N}})k}}

其中,DFS的逆变换串行:

a n = 1 N k =< N > x e i n ( 2 π N ) k {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=<N>}x\cdot e^{in({\frac {2\pi }{N}})k}} (k=<N>表示对一个周期N内的值求和)

连续周期信号的离散化(下面的讨论中, ω 0 = 2 π T {\displaystyle \omega _{0}={\frac {2\pi }{T}}} ):

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