离散傅里叶级数

✍ dations ◷ 2025-06-08 08:20:57 #数字信号处理,傅里叶级数

离散傅里叶级数（DFS）与连续傅立叶级数相比有很大的区别。最大的不同在于离散时间傅里叶级数的系数串行是周期的。

周期为N的周期串行 $\left\{a_{n}\right\}$ $\left\{a_{n}\right\}$ ，其离散傅里叶级数为 $\left\{x_{k}\right\}$ $\left\{x_{k}\right\}$ ：

$x=\sum _{n=<N>}a_{n}\cdot e^{-in({\frac {2\pi }{N}})k}$ $x=\sum _{n=<N>}a_{n}\cdot e^{-in({\frac {2\pi }{N}})k}$

其中，DFS的逆变换串行：

$a_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=<N>}x\cdot e^{in({\frac {2\pi }{N}})k}$ $a_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=<N>}x\cdot e^{in({\frac {2\pi }{N}})k}$ （k=<N>表示对一个周期N内的值求和）

连续周期信号的离散化（下面的讨论中， $\omega _{0}={\frac {2\pi }{T}}$ $\omega_0=\frac{2\pi}{T}$ ）：

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