黎曼球面

✍ dations ◷ 2025-09-09 12:55:29 #黎曼曲面,射影几何

数学上，黎曼球面是一种将复平面加上一个无穷远点的扩张，使得下面这类公式至少在某种意义下有意义

它由19世纪数学家黎曼而得名。也称为

从纯代数的角度，复数加上一个无穷远点构成一个数系称为扩充复数。无穷远点的算数有时和一般的代数规则不符，因此扩充复数不构成一个代数域。但是，黎曼球面在几何和解析角度都行为良好，甚至在无穷远点也不例外；它是一个一维复流形，也称黎曼曲面。

复分析中，黎曼球面对于亚纯函数这个优雅的理论很有帮助。黎曼球面在射影几何和代数几何中作为复流形、射影空间和代数簇的基本例子到处出现。它在涉及分析和几何的其他学科也很有用，譬如量子力学和物理学其他分支。

作为一维复流形，黎曼曲面可以由两个图卡描述，每个的定义域都是复数平面 $\mathbb {C}$ 。因而该度量必须通过球极投影等度于 $\mathbb {R} ^{3}$ 代表（作为微分流形或者拓扑流形的）球面。按照单值化定理，存在唯一的上的复结构。由此可见，上的度量和球面度量共形等价。所有这样的度量构成一个共形类。因此"圆球"度量不是黎曼球面的内在度量，因为"圆形"并不是共形几何的不变量。黎曼球面只是一个共形流形而非黎曼流形。但是，如果需要用到黎曼球面上的黎曼度量，圆形度量是一个很自然的选择。

理解数学对象的自同构群有助于对该对象的研究，自同构也就是对象到自身保持其基本结构不变的映射。对于黎曼球面，自同构就是黎曼球面到自身的可逆双全纯映射。唯一可能的这样的映射只有莫比乌斯变换。这些变换有如下形式：

其中 $a {\displaystyle a}$ $a$ 、 $b {\displaystyle b}$ $b$ 、 $c {\displaystyle c}$ $c$ 、和 $d {\displaystyle d}$ $d$ 为复数，满足 $ad-bc\neq 0$ $ad-bc\neq 0$ .莫比乌斯变换的例子包括膨胀，旋转，平移，和复倒数。事实上，所有莫比乌斯变换可以有这些特例的复合得到。

将莫比乌斯变换视作复射影线上的变换很有益。在射影座标下，变换 $f {\displaystyle f}$ $f$ 可以写作

这样，莫比乌斯变换可以表述为行列式非零的 $2\times 2$ $2\times 2$ 复矩阵；两个矩阵产生同样的莫比乌斯变换当且仅当他们只差一个非零常数。这样莫比乌斯变换恰好对应于射影线性变换 $\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )$ ${\mathrm {PGL}}_{2}({\mathbb {C}})$ .

如果赋予黎曼球面富比尼-施图迪度量，则不是所有的莫比乌斯变换是等度的；例如膨胀和平移就不是。等度变换构成 $\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )$ ${\mathrm {PGL}}_{2}({\mathbb {C}})$ 的一个子群，也即 $\mathrm {PSU} _{2}$ ${\mathrm {PSU}}_{2}$ .该子群同构于旋转群 $\mathrm {SO} (3)$ ${\mathrm {SO}}(3)$ ，它是单位球在 $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ 中的等度群。

复分析中，复平面（或者任何黎曼曲面）上的的亚纯函数是两个全纯函数 $f {\displaystyle f}$ $f$ 和 $g {\displaystyle g}$ $g$ 的比值 $f/g$ $f/g$ .作为到复数的映射，任何 $g {\displaystyle g}$ $g$ 为零的地方，它就没有定义。但是，它引出了一个全纯映射 $(f,g)$ $(f,g)$ 到复射影线，甚至在 $g=0$ $g=0$ 处也有定义。这个构造对于研究全纯和亚纯函数很有用。例如，紧致黎曼曲面上不存在存在非常数复值全纯映射，但是有很多到复射影线上的全纯映射。

黎曼球面有很多物理中的应用。量子力学中，复射影线上的点是光子极化态，自旋为1/2的重亚原子粒子和一般二态粒子的的自旋态的自然取值。黎曼球面被推荐为天体球面的广义相对论模型。弦论中，弦的世界面是黎曼曲面，而黎曼球面作为最简单的黎曼曲面有重要的作用。它在扭子理论中也很重要。

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