黎曼球面

数学上，黎曼球面是一种将复平面加上一个无穷远点的扩张，使得下面这类公式至少在某种意义下有意义

它由19世纪数学家黎曼而得名。也称为

从纯代数的角度，复数加上一个无穷远点构成一个数系称为扩充复数。无穷远点的算数有时和一般的代数规则不符，因此扩充复数不构成一个代数域。但是，黎曼球面在几何和解析角度都行为良好，甚至在无穷远点也不例外；它是一个一维复流形，也称黎曼曲面。

复分析中，黎曼球面对于亚纯函数这个优雅的理论很有帮助。黎曼球面在射影几何和代数几何中作为复流形、射影空间和代数簇的基本例子到处出现。它在涉及分析和几何的其他学科也很有用，譬如量子力学和物理学其他分支。

作为一维复流形，黎曼曲面可以由两个图卡描述，每个的定义域都是复数平面${\displaystyle \mathbb{C}}$。因而该度量必须通过球极投影等度于${\displaystyle {\mathbb{R}}^3}$代表（作为微分流形或者拓扑流形的）球面。按照单值化定理，存在唯一的上的复结构。由此可见，上的度量和球面度量共形等价。所有这样的度量构成一个共形类。因此"圆球"度量不是黎曼球面的内在度量，因为"圆形"并不是共形几何的不变量。黎曼球面只是一个共形流形而非黎曼流形。但是，如果需要用到黎曼球面上的黎曼度量，圆形度量是一个很自然的选择。

理解数学对象的自同构群有助于对该对象的研究，自同构也就是对象到自身保持其基本结构不变的映射。对于黎曼球面，自同构就是黎曼球面到自身的可逆双全纯映射。唯一可能的这样的映射只有莫比乌斯变换。这些变换有如下形式：

其中${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$、和${\displaystyle d}$为复数，满足${\displaystyle ad-<!--\; -\; -->bc\ne <!--\; \ne \; -->0}$.莫比乌斯变换的例子包括膨胀，旋转，平移，和复倒数。事实上，所有莫比乌斯变换可以有这些特例的复合得到。

将莫比乌斯变换视作复射影线上的变换很有益。在射影座标下，变换${\displaystyle f}$可以写作

这样，莫比乌斯变换可以表述为行列式非零的${\displaystyle 2\times <!--\; \times \; -->2}$复矩阵；两个矩阵产生同样的莫比乌斯变换当且仅当他们只差一个非零常数。这样莫比乌斯变换恰好对应于射影线性变换${\displaystyle {\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{C})}$.

如果赋予黎曼球面富比尼-施图迪度量，则不是所有的莫比乌斯变换是等度的；例如膨胀和平移就不是。等度变换构成${\displaystyle {\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{C})}$的一个子群，也即${\displaystyle {\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{U}}_2}$.该子群同构于旋转群${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{O}(3)}$，它是单位球在${\displaystyle {\mathbb{R}}^3}$中的等度群。

复分析中，复平面（或者任何黎曼曲面）上的的亚纯函数是两个全纯函数${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$的比值${\displaystyle f/g}$.作为到复数的映射，任何${\displaystyle g}$为零的地方，它就没有定义。但是，它引出了一个全纯映射${\displaystyle (f,g)}$到复射影线，甚至在${\displaystyle g=0}$处也有定义。这个构造对于研究全纯和亚纯函数很有用。例如，紧致黎曼曲面上不存在存在非常数复值全纯映射，但是有很多到复射影线上的全纯映射。

黎曼球面有很多物理中的应用。量子力学中，复射影线上的点是光子极化态，自旋为1/2的重亚原子粒子和一般二态粒子的的自旋态的自然取值。黎曼球面被推荐为天体球面的广义相对论模型。弦论中，弦的世界面是黎曼曲面，而黎曼球面作为最简单的黎曼曲面有重要的作用。它在扭子理论中也很重要。