积分因子

牛顿 · 莱布尼兹 · 柯西 · 魏尔斯特拉斯  · 黎曼 · 拉格朗日 · 欧拉 · 帕斯卡 · 海涅（英语：Eduard Heine） · 巴罗 · 波尔查诺 · 狄利克雷 · 格林 · 斯托克斯 · 若尔当 · 达布 · 傅里叶 · 拉普拉斯 · 雅各布·伯努利 · 约翰·伯努利 · 阿达马 · 麦克劳林 · 迪尼 · 沃利斯 · 费马 · 达朗贝尔 · 黑维塞 · 吉布斯 · 奥斯特罗格拉德斯基 · 刘维尔 · 棣莫弗 · 格雷果里 · 玛达瓦（英语：Madhava of Sangamagrama） · 婆什迦罗第二 · 阿涅西 · 阿基米德

从无穷小量分析来理解曲线（英语：Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes） · 分析学教程（英语：Cours d'Analyse） · 无穷小分析引论 · 用无穷级数做数学分析（英语：De analysi per aequationes numero terminorum infinitas） · 流形上的微积分（英语：Calculus on Manifolds (book)） · 微积分学教程 · 纯数学教程（英语：A Course of Pure Mathematics） · 机械原理方法论（英语：The Method of Mechanical Theorems）

积分因子是一种用来解微分方程的方法。

考虑以下形式的微分方程：

其中${\displaystyle y=y(x)}$是${\displaystyle x}$的未知函数，${\displaystyle a(x)}$和${\displaystyle b(x)}$是给定的函数。

我们希望把左面化成两个函数的乘积的导数的形式。

考虑函数${\displaystyle M(x)}$。我们把(1)的两边乘以${\displaystyle M(x):}$

如果左面是两个函数的乘积的导数，那么：

两边积分，得：

其中${\displaystyle C}$是一个常数。于是，

为了求出函数${\displaystyle M(x)}$，我们把(3)的左面用乘法定则展开：

与(2)比较，可知${\displaystyle M(x)}$满足以下微分方程：

两边除以${\displaystyle M(x)}$，得：

等式(5)是对数导数的形式。解这个方程，得：

我们可以看到，${\displaystyle M^{\prime }(x)=a(x)M(x)}$的性质在解微分方程中是十分重要的。${\displaystyle M(x)}$称为积分因子。

解微分方程

我们可以看到，${\displaystyle a(x)=\frac{-<!--\; -\; -->2}{x}}$：

两边乘以${\displaystyle M(x)}$，得：

或

可得

积分因子也可以用来解非线性微分方程。例如，考虑以下的非线性二阶微分方程：

可以看到，${\displaystyle \frac{dy}{dt}}$是一个积分因子：

利用复合函数求导法则，可得：

因此

利用分离变量法，可得：

这就是方程的通解。