外共变导数

在数学中，外共变导数（exterior covariant derivative），时或称为共变外导数（covariant exterior derivative），是流形上的微积分（calculus on manifolds）中一个非常有用的概念，它可能将利用主联络的公式化简。

设 → 是光滑流形 上一个主 -丛。如果 ${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$ 上一个张量性 -形式，则其外共变导数定义为：

这里 表示到水平子空间的投影，${\displaystyle H_x}$ 上任何向量场。φ 是 上一个张量性 +1 形式。

不像通常的外导数的平方是 0，我们有

这里 ${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$ 表示曲率形式。特别的 ${\displaystyle D^2}$ 对平坦联络消没。

若A是联络形式、f是函数，则外共变导数是

${\displaystyle d_{D}f=(d+A)f}$

若${\displaystyle M\in <!--\; \in \; -->End(E)}$是矩阵函数（E是主丛；例如，属于G的李代数），则外共变导数是

${\displaystyle d_{D}M=dM+}$

而且，若F是曲率形式，则

${\displaystyle F=d_D^2=d_{D}A=dA+A^2}$

比安基恒等式是

${\displaystyle d_{D}F=d_D^3=0}$