闭集

✍ dations ◷ 2025-10-22 03:59:21 #点集拓扑学

在拓扑空间中，闭集是指其补集为开集的集合。在一个拓扑空间内，闭集可以定义为一个包含所有其极限点的集合。在完备度量空间中，一个闭集的极限运算是闭合的。

在拓扑空间内，一个集合是闭集当且仅当它与它的闭包相同。等价地，一个集合是闭集当且仅当所有的极限点都是这个集合中的点。

不要混淆于闭流形。

闭集包含其自身的边界。换句话说，这个概念基于“外部”的概念，如果你在一个闭集的外部，你稍微“抖动”一下仍在这个集合的外部。注意，这个概念在边界为空的时候还是真的，比如在有理数的度量空间中，对于平方小于2的数的集合。

任意多个闭集的交集是闭集；有限多个闭集的并集是闭集。特别的，空集和全空间是闭集。

交集的性质也被用来定义空间 ${displaystyle X}$ $X$ 上的集合 ${displaystyle A}$ $A$ 的闭包，即 ${displaystyle X}$ $X$ 的闭合子集中最小的 ${displaystyle A}$ $A$ 的父集。特别的， ${displaystyle A}$ $A$ 的闭包可以通过所有的其闭合父集的交集来构造。

上述闭集的定义是根据开集而来得，这一概念在拓扑空间上是有意义的，同时也适用于含有拓扑结构的其他空间，如度量空间、可微流形、一致空间和规格空间。

另一种对闭集的定义是通过序列。拓扑空间 ${displaystyle X}$ $X$ 上的子集 ${displaystyle A}$ $A$ 是闭合的，当且仅当 ${displaystyle A}$ $A$ 的元素组成的任意序列的任意极限仍然属于 ${displaystyle A}$ $A$ 。这一表述的价值在于，它可以用在收敛空间的定义中，而收敛空间比拓扑空间更普通。注意，这一表述仍然依赖背景空间 ${displaystyle X}$ $X$ ，因为序列是否在 ${displaystyle X}$ $X$ 中收敛依赖于 ${displaystyle X}$ $X$ 中的点。

集合是否是闭合的通常取决于它所在的空间。然而在某种意义上，紧致的豪斯多夫空间是“绝对闭合的”。精确地说，将紧致的豪斯多夫空间 ${displaystyle K}$ $K$ 放在任意豪斯多夫空间 ${displaystyle X}$ $X$ 中， ${displaystyle K}$ $K$ 总是 ${displaystyle X}$ $X$ 的一个闭合子集；这和“背景空间”没有关系。实际上，这个性质刻画了紧致的豪斯多夫空间。

邻域 · 内部 · 边界 · 外部 · 极限点 · 孤点

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