AOE网

✍ dations ◷ 2025-06-08 07:49:31 #数据结构

AOE网（Activity On Edge）即边表示活动的网，是一个带权的有向无环图，其中顶点表示事件（Event），每个事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始，弧表示活动，权表示活动持续的时间。AOE网可用来估算工程的完成时间。由于整个工程只有一个开始点和一个完成点，故在正常的情况（无环）下，网中只有一个入度为零的点（源点）和一个出度为零的点（汇点）。

由于在AOE网中有些活动可以并行地进行，所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度（路径上各活动持续时间之和）。路径长度最长的路径叫做关键路径。假设开始点是 $v_{1}$ $v_1$ ，从 $v_{1}$ $v_1$ 到 $v_{i}$ $v_i$ 的最长路径长度叫做事件 $v_{i}$ $v_i$ 的最早发生时间，这个时间决定了所有以 $v_{i}$ $v_i$ 为尾的弧所表示的活动的最早开始时间。用e(i)表示活动 $a_{i}$ $a_{i}$ 的最早开始时间，l(i)为一个活动的最迟开始时间，这是在不推迟整个工程完成的前提下，活动 $a_{i}$ $a_{i}$ 最迟必须开始进行的时间。两者之差l(i)-e(i)意味着完成活动 $a_{i}$ $a_{i}$ 的时间余量。l(i)=e(i)的活动叫做关键活动。关键路径上的所有活动都是关键活动，提前完成非关键活动（不在关键路径的活动）并不能加快工程的进度。为了求得AOE网中活动的e(i)和l(i)，首先应求得事件的最早发生时间ve(j)和最迟发生时间vl(j)。如果活动 $a_{i}$ $a_{i}$ 由弧<j, k>表示，其持续时间记为dut(<j, k>)，则有：e(i) = ve(j), l(i) = vl(k) - dut(<j, k>)。求ve(j)和vl(j)需分两步进行：

$ve(j)=Max\left\{ve(i)+dut(<i,j>)\right\}\quad <i,j>\in T,j=1,2,...n$ $ve(j)=Max\left\{ve(i)+dut(<i,j>)\right\}\quad <i,j>\in T,j=1,2,...n$

$vl(i)=Min\left\{vl(j)-dut(<i,j>)\right\}\quad <i,j>\in S,i=n-2,n-3,...0$ $vl(i)=Min\left\{vl(j)-dut(<i,j>)\right\}\quad <i,j>\in S,i=n-2,n-3,...0$

活动 $a_{i}$ $a_{i}$ 的最早开始时间e

活动 $a_{i}$ $a_{i}$ 的最晚开始时间l

由此得到求关键路径的算法：

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