唯一分解整环

环同态

代数结构

相关结构

代数数论

P进数

代数几何

非交换代数几何（英语：Noncommutative algebraic geometry）

自由代数（英语：Free algebra）

克利福德代数

在数学中，唯一分解整环（Unique factorization domain）是一个整环，其中元素都可以表示成有限个不可约元素（或素元）之积，并且表示法在允许重排与相伴（associative）之下唯一，相当于满足算术基本定理的整环。唯一分解整环通常以英文缩写UFD表示。

一个整环${\displaystyle R}$被称为唯一分解整环当且仅当${\displaystyle R}$中的每个非零元素${\displaystyle x}$皆可表示为一个可逆元和若干个不可约元素（可以是0个）的乘积：

其中${\displaystyle u}$是一个可逆元，${\displaystyle p_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,p_n}$是不可约元素，${\displaystyle n}$是非负整数。并且如果存在${\displaystyle x}$的另一种表示法此表法${\displaystyle x=v{q}_1{q}_2\cdots <!--\; \cdots \; -->q_m}$（${\displaystyle v}$是可逆元，${\displaystyle q_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,q_m}$是不可约元素），则${\displaystyle m=n}$，且存在一个下标的重排${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\in <!--\; \in \; -->S_n}$与可逆元${\displaystyle w_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,w_n}$使得${\displaystyle q_i=w_i{p}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(i)}}$ （${\displaystyle i=1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,n}$），换句话说，存在${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\in <!--\; \in \; -->S_n}$使得${\displaystyle q_i}$和${\displaystyle p_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(i)}}$相伴。

以下给出几个反例：

整数的一些概念可以推广至唯一分解整环：