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方差
✍ dations ◷ 2025-04-04 11:25:22 #方差
方差(英语:Variance),应用数学里的专有名词。在概率论和统计学中,一个随机变量的方差描述的是它的离散程度,也就是该变量离其期望值的距离。一个实随机变量的方差也称为它的二阶矩或二阶中心动差,恰巧也是它的二阶累积量。这里把复杂说白了,就是将各个误差之平方(而非取绝对值,使之肯定为正数),相加之后再除以总数,透过这样的方式来算出各个数据分布、零散(相对中心点)的程度。继续延伸的话,方差的正平方根称为该随机变量的标准差(此为相对各个数据点间),方差除以期望值归一化的值叫分散指数,标准差除以期望值归一化的值叫变异系数。设X为服从分布F的随机变量,
如果E是随机变数X的期望值(平均数μ=E)
随机变量X或者分布F的方差为:这个定义涵盖了连续、离散、或两者都有的随机变量。方差亦可当作是随机变量与自己本身的协方差(或协方差):方差典型的标记有Var(X),
σ
X
2
{displaystyle scriptstyle sigma _{X}^{2}}
, 或是
σ
2
{displaystyle sigma ^{2}}
,其表示式可展开成为:上述的表示式可记为"平方的期望减掉期望的平方"。如果随机变量X是具有概率质量函数的离散概率分布x1 ↦ p1, ..., xn ↦ pn,则:此处
μ
{displaystyle mu }
是其期望值, i.e.当X为有N个相等概率值的平均分布:N个相等概率值的方差亦可以点对点间的方变量表示为:如果随机变量X是连续分布,并对应至概率密度函数f(x),则其方差为:此处
μ
{displaystyle mu }
是一期望值,且此处的积分为以X为范围的x定积分(definite integral)
如果一个连续分布不存在期望值,如柯西分布(Cauchy distribution),也就不会有方差(不予定义)。方差不会是负的,因为次方计算为正的或为零:一个常数随机变量的方差为零,且当一个资料集的方差为零时,其内所有项目皆为相同数值:方差不变于定位参数的变动。也就是说,如果一个常数被加至一个数列中的所有变量值,此数列的方差不会改变:如果所有数值被放大一个常数倍,方差会放大此常数的平方倍:两个随机变量合的方差为:此数Cov(., .)代表协方差。
对于
N
{displaystyle N}
个随机变量
{
X
1
,
…
,
X
N
}
{displaystyle {X_{1},dots ,X_{N}}}
的总和:在样本空间Ω上存在有限期望和方差的随机变量构成一个希尔伯特空间:
L2(Ω, dP),不过这里的内积和长度跟协方差,标准差还是不大一样。
所以,我们得把这个空间“除”常变量构成的子空间,也就是说把相差一个常数的
所有原来那个空间的随机变量做成一个等价类。这还是一个新的无穷维线性空间,
并且有一个从旧空间内积诱导出来的新内积,而这个内积就是协方差。如果X是一个向量其取值范围在实数空间Rn,并且其每个元素都是一个一维随机变量,我们就把X称为随机向量。随机向量的方差是一维随机变量方差的自然推广,其定义为E,其中μ = E(X),XT是X的转置。这个方差是一个非负定的方阵,通常称为协方差矩阵。如果X是一个复数随机变量的向量(向量中每个元素均为复数的随机变量),那么其方差定义则为E,其中X*是X的共轭转置向量或称为埃尔米特向量。根据这个定义,方差为实数。“方差”(variance)这个名词率先由罗纳德·费雪(英语:Ronald Fisher)在论文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中提出。后来“半方差”(semi variance(英语:semivariance)),“亚方差”(hypo variance)“超方差”,(super variance)与“圆方差”(circular variance(英语:circular variance))等类似概念也被逐渐延伸出去。
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