奇异摄动

✍ dations ◷ 2025-09-16 08:09:12 #微分方程,微扰理论,代数方程,非线性控制

奇异摄动问题是指数学上一个含有小参数的问题,但不能够直接以把小参数设为零来求得所有近似解的问题。在描述奇异摄动问题的方程里,小参数作为系数出现在含有最高阶次方或导数项里,如果按照常规摄动法把小参数设为零,将会导致方程降阶从而不能得到所有的近似解。奇异摄动的来源是这类问题里存在多个尺度。为了求得在每个尺度上的有效近似解,需要将方程用不同尺度规范化以得到新的方程。而新的方程则可以用常规摄动法来求近似解。奇异摄动方法开端于普朗特的边界层理论。

当一个被摄动的问题的解可以用一个渐近展开来作为问题的整个域上的无论是空间还是时间上的近似解时,这样的情形被称作常规摄动. 通常, 一个常规摄动问题的零阶近似解是通过把小参数 ε 设零来求得。 这相当于只取渐近展开的第一项以求得相应的近似解。这个方法不能直接作为第一步来求解一个奇异摄动问题。如以下的例子所显示,一个奇异摄动问题发生于当问题里的小参数出现在方程的含有最高阶算子的项的系数里†。因此如果幼稚地把小参数设零会改变问题的本质。对于微分方程,部分边界条件将不能被满足;对于代数方程,解的总数被减少了。 

奇异摄动方法理论开端于普朗特的边界层理论,是一个丰富的并持续发展的供数学、物理、及其它学科的工作者们探索的领域。现存的解决奇异摄动问题的方法有几种。对于空间域上的问题,有匹配渐近展开法和WKB近似法;对于时间域上的问题,有庞加莱-林德斯泰特方法(Poincare-Lindstedt)、多尺度方法(multiple-scale)、和周期平均方法(periodic averaging)。

关于常、偏微分方程的奇异摄动法, 参见 Holmes ,Hinch ,或者 Bender and Orszag

相关

  • 欧洲航空防务与航天公司空客集团,正式名称为空客欧洲股份公司(英语:Airbus SE)是一家由欧洲多国政府所合资、专营航空器与航天器之开发及销售的综合企业。注册于荷兰莱顿、总部位于法国图鲁兹,旗下企业
  • 轮班工作睡眠紊乱轮班工作睡眠紊乱(Shift work sleep disorder,简称SWSD)是生理节奏睡眠紊乱的一种,患者通常为因需轮班工作而经常转换工作和睡眠时间、或长期于非日间工作的人。这些对睡眠规律
  • 紫色经济紫色经济是可持续发展的一部分,在经济发展过程中强调产业和服务的潜在文化价值。“紫色经济旨在在经济中融入文化因素,它通过适应全球化中的人文多样性和依托文化元素来实现产
  • 鲁宾斯坦安东·格里戈里耶维奇·鲁宾斯坦(俄语:Антон Григорьевич Рубинштейн,1829年11月28日-1894年11月20日),俄罗斯钢琴家、作曲家及指挥家。华语地区一般简
  • 广州大剧院广州大剧院,曾名广州歌剧院,位于中国广州市珠江新城珠江西路1号,总建筑面积7.1万平方米。工程由英籍伊拉克女建筑师扎哈·哈迪德设计,其外形独特,犹如一山丘上置放两块大小不同的
  • 水龙兽属水龙兽属(学名:)意为“铲子蜥蜴”,是兽孔目二齿兽下目的一属,存活在二叠纪晚期到三叠纪早期,约2亿5000万年前,化石分布于南极洲、印度、南非。在1930年代到1970年代曾有许多种被归
  • 欧洲研究欧洲研究是关于欧洲一体化各个不同领域发展的学科。在世界范围内成为了一门新兴的人文科学。有一些相关的教育提供主要关于欧盟发展的过程。这些学科通常是交叉学科,即有政治
  • 洪昇洪昇(1645年8月21日-1704年7月2日),字昉思,号稗畦、稗村,别号南屏樵者,浙江钱塘县(今杭州市)人,清初著名戏曲作家,以剧本《长生殿》闻名天下,与《桃花扇》作者孔尚任齐名,有“南洪北孔”
  • 宁波市同济中学宁波市同济中学位于浙江省宁波市海曙区,是浙江省二级重点中学。1949年,宁波市同济中学创建。学校占地约120亩,建筑面积达三万五千多平方米。2016年宁波市进行行政区划将同济中
  • 福布斯20本最具影响力商业书籍福布斯20本最具影响力商业书籍(英语:The 20 Most Influential Business Books)是《福布斯》杂志于2002年评选出的20世纪最后20年间最具有影响力的20本商业类书籍。20世纪80年代