曲面的systole

✍ dations ◷ 2025-07-10 17:23:41 #曲面的微分几何

数学上,曲面上的曲线的systolic不等式,最初是查尔斯·娄威纳在1949年研究(未发表,见蒲保明1952年的论文末尾的注解。给定一个闭曲面,其systole记为sys,定义为曲面上不能缩成一点的环路的最短长度。一个度量的systolic面积,定义为比例area/sys2,systolic比SR是其倒数sys2/area。

1949年娄威纳证明了环面T2上的度量的不等式,即是其systolic比SR(T2) 有上界 2 / 3 {\displaystyle 2/{\sqrt {3}}} ,Bavard(1986)获得了systolic比的最佳上界 π / 8 {\displaystyle \pi /{\sqrt {8}}} 的闭曲面,Hebda和Burago(1980)证明了systolic比SR()有上界2。三年后米哈伊尔·格罗莫夫找到SR()的一个上界, 是一个常数乘以

一个“较小”的界(带一个较小的常数)由Buser和Sarnak给出。他们证明了算术双曲黎曼曲面的systole表现为一个常数乘以 log ( g ) {\displaystyle \log(g)} -1),所以SR()渐近表现为一个常数乘以 ( log g ) 2 g {\displaystyle {\tfrac {(\log g)^{2}}{g}}}

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