大数定理

在数学与统计学中，大数定律又称大数法则、大数律，是描述相当多次数重复实验的结果的定律。根据这个定律知道，样本数量越多，则其算术平均值就有越高的概率接近期望值。大数定律很重要，因为它“说明”了一些随机事件的均值的长期稳定性。人们发现，在重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一，亦即偶然之中包含着必然。切比雪夫不等式的一个特殊情况、辛钦定理和伯努利大数定律都概括了这一现象，都称为大数定律。例如，抛掷一颗均匀的6面的骰子，1，2，3，4，5，6应等概率出现，所以每次扔出骰子后，出现点数的期望值是1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 6 = 3.5 {displaystyle {frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5}根据大数定理，如果多次抛掷骰子，随着抛掷次数的增加，平均值（样本平均值）应该接近3.5，根据大数定理，在多次伯努利实验中，实验概率最后收敛于理论推断的概率值，对于伯努利随机变量，理论推断的成功概率就是期望值，而若对n个相互独立的随机变量的平均值，频率越多则相对越精准。例如硬币投掷即伯努利实验，当投掷一枚均匀的硬币，理论上得出的正面向上的概率应是1/2。因此，根据大数定理，正面朝上的比例在相对“大”的数字下，“理应”接近为1/2，尤其是正面朝上的概率在n次实验（n接近无限大时）后应几近收敛到1/2。即使正面朝上（或背面朝上）的比例接近1/2，几乎很自然的正面与负面朝上的绝对差值（absolute difference差值范围）应该相应随着抛掷次数的增加而增加。换句话说，绝对差值的概率应该是会随着抛掷次数而接近于0。直观的来看，绝对差值的期望会增加，只是慢于抛掷次数增加的速度。大数定律主要有两种表现形式：弱大数定律和强大数定律。定律的两种形式都肯定无疑地表明，样本均值收敛于真值其中 X 1 {displaystyle X_{1}} , X 2 {displaystyle X_{2}} , ... 是独立同分布、期望值 E ⁡ ( X 1 ) = E ⁡ ( X 2 ) = ⋯ = μ {displaystyle operatorname {E} (X_{1})=operatorname {E} (X_{2})=,cdots ,=mu } 且皆勒贝格可积的随机变量构成的无穷序列。 X j {displaystyle X_{j}} 的勒贝格可积性意味着期望值 E ⁡ ( X j ) {displaystyle operatorname {E} (X_{j})} 存在且有限。方差 Var ⁡ ( X 1 ) = Var ⁡ ( X 2 ) = ⋯ = σ 2 < ∞ {displaystyle operatorname {Var} (X_{1})=operatorname {Var} (X_{2})=,cdots ,=sigma ^{2}<infty } 有限的假设是非必要的。很大或者无穷大的方差会使其收敛得缓慢一些，但大数定律仍然成立。通常采用这个假设来使证明更加简洁。强和弱之间的差别在所断言的收敛的方式。对于这些方式的解释，参见随机变量的收敛。弱大数定律也称为辛钦定理，陈述为：样本均值依概率收敛于期望值。也就是说对于任意正数 ε,强大数定律指出，样本均值以概率1收敛于期望值。即设 a 1 ,   a 2 ,   …   ,   a n ,   … {displaystyle a_{1}, a_{2}, dots , a_{n}, dots } 为相互独立的随机变量，其数学期望为： E ⁡ ( a i ) = μ ( i = 1 ,   2 ,   … ) {displaystyle operatorname {E} (a_{i})=mu quad (i=1, 2, dots )} ，方差为： Var ⁡ ( a i ) = σ 2 ( i = 1 ,   2 ,   … ) {displaystyle operatorname {Var} (a_{i})=sigma ^{2}quad (i=1, 2, dots )}则序列 a ¯ = 1 n ∑ i = 1 n a i {displaystyle {overline {a}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}a_{i}} 依概率收敛于 μ {displaystyle mu } （即收敛于此数列的数学期望 E ( a i ) {displaystyle E(a_{i})} ）。换言之，在定理条件下，当 n {displaystyle n} 无限变大时， n {displaystyle n} 个随机变量的算术平均将变成一个常数。设在 n {displaystyle n} 次独立重复伯努利试验中， 事件 X {displaystyle X} 发生的次数为 n x {displaystyle n_{x}} 。 事件 X {displaystyle X} 在每次试验中发生的总体概率为 p {displaystyle p} 。 n x n {displaystyle {frac {n_{x}}{n}}} 代表样本发生事件 X {displaystyle X} 的频率。大数定律可用概率极限值定义: 则对任意正数 ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} ，下式成立：定理表明事件发生的频率依概率收敛于事件的总体概率。 定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。 就是说当 n {displaystyle n} 很大时，事件发生的频率于总体概率有较大偏差的可能性很小。