叠加原理

✍ dations ◷ 2025-06-06 15:40:20 #叠加原理
在物理学与系统理论中,叠加原理(superposition principle),也叫叠加性质(superposition property),说对任何线性系统“在给定地点与时间,由两个或多个刺激产生的合成反应是由每个刺激单独产生的反应之代数和。”从而如果输入 A 产生反应 X,输入 B 产生 Y,则输入 A+B 产生反应 (X+Y)。用数学的话讲,对所有线性系统 F(x)=y,其中 x 是某种程度上的刺激(输入)而 y 是某种反应(输出),刺激的叠加(即“和”)得出分别反应的叠加:在数学中,这个性质更常被叫做可加性。在绝大多数实际情形中,F 的可加性表明它是一个线性映射,也叫做一个线性函数或线性算子。此原理在物理学与工程学中有许多应用,因许多物理系统可以线性系统为模型。例如,一个梁可作为一个线性系统,其中输入刺激是在梁上的结构荷重,而输出反应是梁的挠度。因为物理系统通常只是近似线性的,叠加原理往往只是真实物理现象的近似;从这里可以察知这些系统的操作区域。叠加原理适用于任何线性系统,包括代数方程、线性微分方程、以及这些形式的方程组。输入与反应可以是数、函数、矢量、矢量场、随时间变化的信号、或任何满足一定公理的其它对象。注意当涉及到矢量与矢量场时,叠加理解为矢量和。通过将线性系统中一个非常一般的刺激写成一些特定的简单形式的刺激之叠加,利用叠加原理,通常使反应变得容易计算。例如,在傅里叶分析中,刺激写成无穷多个正弦波的叠加。由于叠加原理,每个这样的正弦波可单独分析,各自的反应可计算出来。(反应自己也是一个正弦波,与刺激的频率相同,但一般有不同的振幅与相位。)根据叠加原理,原来的刺激的反应是所有单独的正弦波反应之总和(或积分)。另一个常见的例子,在格林函数分析中,刺激写成无穷多个脉冲函数的叠加,而反应是脉冲响应的叠加。傅里叶分析对波是常用的。例如,在电磁理论中,通常的光描述为平面波(固定频率、极化与方向的波)的叠加。只要叠加原理成立(通常成立但未必一定;见非线性光学),任何光波的行为可理解为这些简单平面波的行为之叠加。波通常描述为通过空间与时间的某个参数的变化,例如,水波中的高度,声波中的压强,或光波中的电磁场。这个参数的值称为波的振幅,而波本身是确定在每一点的振幅的一个函数。在任何有波的系统中,在给定时间的波形式是该系统的源(即可能存在的产生或影响波的外力)与初始条件的函数。在许多情形(例如经典波方程),描述波的方程是线性的。如果该条件成立,则可以使用叠加原理。这就意味着由在同一空间中传播的两个或多个波的合成振幅,是由每个波单独产生的振幅之和。例如,两个相向传播的波将径直互相穿过,在另一边不会有任何变形(见最上面的图)。波之间的干涉即基于此想法。当两个或更多波在同一个空间中传播,在每一点的合成振幅是各个波的振幅之和。在某些情形,比如抗噪耳机,合成变量的振幅比各个分变量都小;这称为消极干涉。在另一种情形,比如线阵音箱(英语:Line array),合成变量振幅比各个分变量都大;这成为积极干涉。值得注意的是在大多数实际物理情形中,支配波的方程只是近似线性。在这些情形,叠加原理只是近似成立。作为一个法则,当波的振幅越小时近似的准确性程度越高。当叠加原理不是准确地成立时的现象可参见非线性光学与非线性声学。在量子力学中,一个主要问题是如何计算一个特定类型波的传播与行为。这个波叫做波函数,支配波的行为的方程称为薛定谔波动方程。计算一个波函数的行为的一个主要方法是将波函数写成(可能无穷个)一些行为特别简单的稳定态的波函数之叠加(称为量子叠加)。因为薛定谔波方程是线性的,原来波函数的行为可以通过叠加原理来计算,参见量子叠加。一类通常的边界值问题抽象地说是寻找一个函数 y 使其满足某个方程以及边界条件例如,在狄利克雷边界条件下拉普拉斯方程的中,F 是一个区域 R 上的拉普拉斯算子,G 是将 y 限制于 R 的边界上的算子,z 是 y 在 R 的边界上要求满足的函数。在这种情形下 F 与 G 都是线性算子,则叠加原理说第一个方程的一些解的叠加是第一个方程的另一个解:而边界值为:利用这一事实,如果一组解可以组成第一个方程的解,则这些解小心地叠加起来可使其满足第二个方程。这是解边界值问题的一个通常方法。

相关

  • 喉咙痛咽喉痛(sore throat、throat pain,又称喉咙痛或喉痛),是指咽喉出现痛楚的症状,最主要的成因是咽喉炎(喉咙发炎),但可由其他原因引致,例如白喉和伤风感冒威胁。 服用非类固醇消炎止痛
  • 宫底高度宫底高度(Fundal height)也称为耻骨联合-宫底高度(symphysial fundal height,也称为SFH),也称为宫顶高度或宫高,是妊娠中量测子宫大小的方式,可以在怀孕中评估胎儿成长及其发育情形
  • 发光杆菌属P. leiognathiP. phosphoreumP. profundum发光杆菌属(Photobacterium)又叫光合细菌。染色性质上属于革兰氏阴性菌。普遍的存在于海洋环境中和海洋生物体的体表和少许海洋生物
  • ACE血管紧张肽I转化酶抑制剂(英语:ACE inhibitor,简称为ACEI)是一类抗高血压药。血管紧张素转化酶(ACE)是肾素-血管紧张素-醛固酮(RAA)系统中的一个重要环节,该系统对血压的调节有着及其
  • varicocele精索静脉曲张(英语:Varicocele,缩写为VC)是指男性精索内的静脉出现迂曲扩张,多见于左侧,也可见于双侧或者右侧,是一种成因不明的男科疾病,任何男子均有可能患上,严重者可导致睾丸萎缩
  • 丙纶0.946 g/cm3, crystalline聚丙烯(Polypropylene,简称PP)是一种半结晶的热塑性塑料。具有较高的耐冲击性,机械性质强韧,抗多种有机溶剂和酸碱腐蚀。在工业界有广泛的应用,包括包装
  • 同夫同妻即男同性恋者的妻子,女同性恋者的丈夫则称为同夫。其中大部分同妻/同夫是异性恋者,另有一部分是同性恋者,同妻/同夫通常指代前者。中国大陆绝大部分男同性恋者选择与异性结
  • 几何原本《几何原本》(古希腊语:Στοιχεῖα,Stoicheia)是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作,共13卷。这本著作是现代数学的基础,据估计在西方是仅次于《圣经》的出版版本最多
  • 心包腔心包,又名心膜,是一个圆锥形双层纤维浆膜囊,包裹心脏和出入心脏大血管根部。心包的两层分别为:心包的学名pericardium来自希腊语的περι(环绕、周围)与κάρδιον(心脏)两字
  • 美国自然史博物馆AMNH.org美国自然历史博物馆(American Museum of Natural History)位于美国纽约曼哈顿上西城第八大道及第79街交界,是专注于天文学、地球科学、人类学、古生物学、生物学等的博