最长公共子序列

最长公共子序列（LCS）是一个在一个序列集合中（通常为两个序列）用来查找所有序列中最长子序列的问题。这与查找最长公共子串的问题不同的地方是：子序列不需要在原序列中占用连续的位置 。最长公共子序列问题是一个经典的计算机科学问题，也是数据比较（英语：data comparison）程序，比如Diff工具，和生物信息学应用的基础。它也被广泛地应用在版本控制，比如Git用来调和文件之间的改变。

一个数列${\displaystyle S}$，如果分别是两个或多个已知数列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则${\displaystyle S}$称为已知序列的最长公共子序列。

对于一般性的LCS问题（即任意数量的序列）是属于NP-hard。但当序列的数量确定时，问题可以使用动态规划（Dynamic Programming）在多项式时间内解决。

最长公共子序列问题存在最优子结构：这个问题可以分解成更小，更简单的“子问题”，这个子问题可以分成更多的子问题，因此整个问题就变得简单了。最长公共子序列问题的子问题的解是可以重复使用的，也就是说，更高级别的子问题通常会重用低级子问题的解。拥有这个两个属性的问题可以使用动态规划算法来解决，这样子问题的解就可以被储存起来，而不用重复计算。这个过程需要在一个表中储存同一级别的子问题的解，因此这个解可以被更高级的子问题使用。

动态规划的一个计算最长公共子序列的方法如下，以两个序列${\displaystyle X}$、${\displaystyle Y}$为例子：

设有二维数组${\displaystyle f}$表示${\displaystyle X}$的${\displaystyle i}$位和${\displaystyle Y}$的${\displaystyle j}$位之前的最长公共子序列的长度，则有：

其中，${\displaystyle same(a,b)}$当${\displaystyle X}$的第${\displaystyle a}$位与${\displaystyle Y}$的第${\displaystyle b}$位完全相同时为“1”，否则为“0”。

此时，${\displaystyle f}$中最大的数便是${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的最长公共子序列的长度，依据该数组回溯，便可找出最长公共子序列。

该算法的空间、时间复杂度均为${\displaystyle O(n^2)}$，经过优化后，空间复杂度可为${\displaystyle O(n)}$。

下面算法计算了所有子问题的最长公共子序列长度C。