表达式

表示式亦称表达式、运算式或数学表达式，在数学领域中是一些符号依据上下文的规则，有限而定义良好的组合。数学符号可用于标定数字（常量）、变量、操作、函数、括号、标点符号和分组，帮助确定操作顺序以及有其它考量的逻辑语法。表达式的使用范围从简单的如下列各例：到很复杂的组合表达式：数学表达式的各种形式包括了算术、多项式、代数、闭合形式和解析的表达式。下表列出了这些种类中所可能包含的元素。表达式是一个句法结构，它必须具有良好定义的形式。表达式中的运算符必须在正确位置有正确的输入数，组成这些输入的字符必须是有效的，具有明确的运算次序等。违反语法规则的字符，不会构成有效的数学表达式。例如，在一般算术符号中，表达式1 + 2 × 3是形式良好的，但下面的表达式却没有：表达式的语义是对语句意义的研究，逻辑语义学是关于所传达的意义。在代数中，可用表达式指定一个值；而这个结果值取决于对式中变量所赋予的值，经由附加语义的运算符操作后以确定该值。语义的选择则根据表达式的上下文。同一个表达式1 + 2 × 3可能会有不同结果（依算数惯例的结果为7，也可能是9），这取决于上下文中隐含的运算次序。语义规则可以声明某些表达式并无指定值（例如，当它们除以0时）；对这表达式称为未定义，但它们仍然以良好的形式表现出来。广义来说，表达式的意义并不局限于指定值；例如，表达式可用于指定条件，表示要被求解的方程，或将其视为可根据某些规则而操作的对象。有指定值的表达式同时也代表了有假设前提，例如与 ⊕ {displaystyle oplus } 运算符有关的假设前提，会指定一个内部的直接和(direct sum)。表示式和其赋值曾在1930年代由阿隆佐·邱奇和Stephen Kleene在其 λ {displaystyle lambda } 演算中被公式化。 λ {displaystyle lambda } 演算对现代数学和电脑编程语言的发展都曾有过重大的影响。λ {displaystyle lambda } 演算有着一个更有趣的推论，在某些情况之下，两个表示式的等值与否是无法决定的。而且这个推论在任一和 λ {displaystyle lambda } 演算有同样功用的系统内也都是成立的。许多数学表达式中包括变量，变量又区分为自由变量或约束变量两种。对于自由变量赋值的一给定组合，进行对表达式的评估，然而这些赋值的某些组合在评估整句表达式后的结果，可能没有定义。因此一个表达式表示一个函数，其输入是赋予自由变量的值，其输出是表达式的结果值。举例来说，表示式 x y {displaystyle {frac {x}{y}}} ，分别使自由变数 x {displaystyle x} 和 y {displaystyle y} 定值为 10 {displaystyle 10} 和 5 {displaystyle 5} ，其输出为数字 2 {displaystyle 2} ； 但注意在 y {displaystyle y} 值为 0 {displaystyle 0} 时，则这表示式没有定义。数学表达式的评估取决于上下文背景对式中运算符的定义，赋值的定义域和评估结果的域。如果两个表达式之中的变量，对于它们赋值的每一种组合都产生相同的输出，则这两个表达式被认定为相等，即它们实为相同的函数。例如，表示式 ∑ n = 1 3 2 n x {displaystyle sum _{n=1}^{3}2nx} 有自由变数 x {displaystyle x} 、约束变数 n {displaystyle n} 、常数 1 , 2 , 3 {displaystyle 1,2,3} 、两个内含的乘法算符和一个总和算符。 此一表示式和另一较简单的表示式 12 x {displaystyle 12x} 相等。 x = 3 {displaystyle x=3} 时的值为 36 {displaystyle 36} 。