主方程

在物理和化学及相关领域，主方程（Master equation）被用来描述特定的系统。这种系统可以被建模成在任何时间下都处于多个态的概率叠加状态，并且态之间的切换由转换概率矩阵（transition rate matrix）决定。该方程由一组含时微分方程组成，描述系统对不同态的占据情况随时间的变化。

主方程是唯象的一阶微分方程，用于描述系统随连续变量（时间）占据各离散态的概率。一般以矩阵的形式出现：

其中${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{P}}$ 代表，${\displaystyle \mathbf{A}}$ 跃迁时间的概率密度函数为 指数函数）。当连接状况随时间变化时，（也就是矩阵${\displaystyle \mathbf{A}}$ 代表行，第二个下标 ${\displaystyle \mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}$ 代表目标。对于下标的规定出于简化计算的需要。

对于每个态，增加占据该态的概率需要来自所有其他态的贡献：

其中${\displaystyle P_{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}}$ = 项的形式。这样的话即使${\displaystyle \mathbf{A}}$ 和 有平衡态概率 ${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_k}$和 ${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}}$，有：

则主方程会呈现细致平衡（Detailed_balance（英语：detailed balance） ）的特征。

这些对称关系在微观动力学下由时间可逆性（Time_reversibility（英语：time reversibility） ）证明，即微观可逆性（Microscopic_reversibility（英语：microscopic reversibility）），也被称为昂萨格倒易关系（Onsager_reciprocal_relations（英语：Onsager reciprocal relations））。

经典和量子力学中许多问题，以及其他科学学科中的部分问题，都可以被简化为主方程这一数学模型的形式。

量子力学中的林德布拉德方程（Lindblad_equation（英语：Lindblad equation））是对主方程的延申，其描述了密度矩阵的时间演化。尽管林德布拉德方程也常被称为主方程，但并不是严格意义上的。原因在于，它不仅描述了概率（密度矩阵的对角元）的时间演化，也包括了态之间的量子相干性的信息（密度矩阵的非对角元）。

主方程另一个特殊的例子是福克-普朗克方程（Fokker-Planck_equation（英语：Fokker-Planck equation） ）。该方程描述了连续概率分布的时间演化。难以解析分析的复杂主方程都可以通过近似方法（例如 System_size_expansion（英语：system size expansion））归入此形式。

随机化学动力学是主方程的另一个例子。化学主方程被用于对一组化学反应进行建模，其中要求体系中一种或多种物种的分子数要足够少（量级在100到1000个分子）。

量子主方程是对主方程这一概念的推广。狭义上的主方程只包含对应一组概率的一组微分方程（只涉及密度矩阵的对角元），量子主方程则包括了整个概率矩阵，包括非对角元。只包含对角元的概率矩阵可以被建模为经典随机过程，因此“一般的”主方程被认为是经典的。非对角元代表了量子相干性这种量子力学的内禀特性。

Redfield_equation（英语：Redfield equation） 和林德布拉德方程均是近似量子主方程，一般遵循马尔可夫过程。对于特定情况的，更精确的量子主方程，包括Polaron（英语：polaron） transformed quantum master equation 和VPQME (variational polaron transformed quantum master equation)。