格林函数

在数学中，格林函数（点源函数、影响函数）是一种用来解有初始条件或边界条件的非齐次微分方程的函数。在物理学的多体理论中，格林函数常常指各种关联函数（英语：Correlation function (quantum field theory)），有时并不符合数学上的定义。

格林函数的名称是来自于英国数学家乔治·格林（George Green），早在1830年代，他是第一个提出这个概念的人。

给定流形${\displaystyle M}$，由于 为线性算符，可以用上述的方式得到 。换句话说， (2) 式的解 可以由 (3) 式的积分得到。若可以找到满足 (1) 式的格林函数 ，就可以求出 。

并非所有的算符 都存在对应的格林函数。格林函数也可以视为算符 的左逆元素。撇开要找到特定算符的格林函数的难度不论，(3) 式的积分也很难求解，因此此方法只能算是提供了一个理论上存在的解法。

格林函数可以用来解非齐次的微-积分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若 是算符 的格林函数，则方程 = 的解 为

可以视为 依狄拉克δ函数的基底展开，再将所有投影量叠加的结果。以上的积分为弗雷德霍姆积分方程（英语：Fredholm_integral_equation）。

格林函数的主要用途是用来求解非齐次的边界值问题。在近代的理论物理中，格林函数一般是用来作为费曼图中的传播子，而“格林函数”一词也用来表示量子力学中的关联函数（英语：Correlation function (quantum field theory)）。

令 ${\displaystyle L}$ 是边界条件算子

令 ${\displaystyle f(x)}$ 有一组完备的特征向量 ${\displaystyle {\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n(x)}$，则可以证明以上假设的完备性。

有关以上格林函数的进一步研究，及格林函数和特征向量所组成空间的关系，则为弗雷德霍姆理论（英语：Fredholm theory）所要探讨的内容。

先由格林定理开始：

假设线性算符 为拉普拉斯算子 ${\displaystyle {\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2}$ 为拉普拉斯算子的格林函数。则因为格林函数的定义，可得下式：

令格林定理中的 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=G}$ 时因特性 3 可知

（此时不需考虑 ${\displaystyle g(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2},s)=0}$ 时因特性 3 可知

（此时不需考虑 ${\displaystyle g(0,s)=0}$()和().

根据特性 1，可得

根据特性 4，可得

解上述二式，可以求出 ()和()

因此格林函数为

对照此解和格林函数的特性 5，可知此解也满足特性 5 的要求。