统计学习理论

统计学习理论（英语：Statistical learning theory），一种机器学习的架构，根据统计学与泛函分析（Functional Analysis）而建立。统计学习理论基于资料（data），找出预测性函数，之后解决问题。支持向量机（Support Vector Machine）的理论基础来自于统计学习理论。令 X {displaystyle X} 为所有可能的输入组成的向量空间， Y {displaystyle Y} 为所有可能的输出组成的向量空间。统计学习理论认为，积空间 Z = X × Y {displaystyle Z=Xtimes Y} 上存在某个未知的概率分布 p ( z ) = p ( x → , y ) {displaystyle p(z)=p({vec {x}},y)} 。训练集由这个概率分布中的 n {displaystyle n} 个样例构成，并用 S = { ( x → 1 , y 1 ) , … , ( x → n , y n ) } = { z → 1 , … , z → n } {displaystyle S={({vec {x}}_{1},y_{1}),dots ,({vec {x}}_{n},y_{n})}={{vec {z}}_{1},dots ,{vec {z}}_{n}}} 表示。每个 x → i {displaystyle {vec {x}}_{i}} 都是训练数据的一个输入向量， 而 y i {displaystyle y_{i}} 则是对应的输出向量。损失函数的选择是机器学习算法所选的函数 f S {displaystyle f_{S}} 中的决定性因素。 损失函数也影响着算法的收敛速率。损失函数的凸性也十分重要。根据问题是回归问题还是分类问题，我们可以使用不同的损失函数。回归问题中最常用的损失函数是平方损失函数（也被称为L2-范数)。类似的损失函数也被用在普通最小二乘回归。其形式是：另一个常见的损失函数是绝对值范数（L1-范数）：某种程度上说0-1指示函数是分类问题中最自然的损失函数。它在预测结果与真实结果相同时取0，相异时取1。对于 Y = { − 1 , 1 } {displaystyle Y={-1,1}} 的二分类问题，这可以表示为：其中 θ {displaystyle theta } 为单位阶跃函数。机器学习的一大常见问题是过拟合。由于机器学习是一个预测问题，其目标并不是找到一个与（之前观测到的）数据最拟合的的函数，而是寻找一个能对未来的输入作出最精确预测的函数。经验风险最小化有过拟合的风险：找到的函数完美地匹配现有数据但并不能很好地预测未来的输出。过拟合的常见表现是不稳定的解：训练数据的一个小的扰动会导致学到的函数的巨大波动。可以证明，如果解的稳定性可以得到保证，那么其可推广性和一致性也同样能得到保证。 正则化可以解决过拟合的问题并增加解的稳定性。正则化可以通过限制假设空间 H {displaystyle {mathcal {H}}} 来完成。一个常见的例子是把 H {displaystyle {mathcal {H}}} 限制为线性函数：这可以被看成是把问题简化为标准设计的线性回归。 H {displaystyle {mathcal {H}}} 也可以被限制为 p {displaystyle p} 次多项式，指数函数，或L1上的有界函数。对假设空间的限制能防止过拟合的原因是，潜在的函数的形式得到了限制，因此防止了那些能给出任意接近于0的经验风险的复杂函数。一个正则化的样例是吉洪诺夫正则化，即最小化如下损失函数其中正则化参数 γ {displaystyle gamma } 为一个固定的正参数。吉洪诺夫正则化保证了解的存在性、唯一性和稳定性。