测度

数学分析上，测度（英语：measure）是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数。感官上，测度的概念相当于长度、面积、体积等。一个特别重要的例子是欧式空间上的勒贝格测度，它把欧式几何上传统的诸如长度、面积和体积等概念赋予 n 维欧式空间 R 。例如，实数区间 上的勒贝格测度就是它显而易见的长度，即 1。

传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。

测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中都有所体现。

${\displaystyle X}$是个集合，定义在 ${\displaystyle X}$上的另一集合 ${\displaystyle \mathcal{A}}$ ，${\displaystyle \mathcal{A}}$中的元素是 ${\displaystyle X}$的子集合，而且是一个σ-代数，测度 ${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$（详细的说法是可数可加的正测度）是个定义在 ${\displaystyle \mathcal{A}}$ 上的函数，于${\displaystyle }$中取值，且满足以下性质：

这样的三元组${\displaystyle (X,\mathcal{A},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}$称为一个测度空间，而${\displaystyle \mathcal{A}}$ 中的元素称为这个空间中的可测集合。

下面的一些性质可从测度的定义导出：

测度${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$的单调性：若${\displaystyle E_1}$和${\displaystyle E_2}$为可测集，而且${\displaystyle E_1\subseteq <!--\; \subseteq \; -->E_2}$，则${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(E_1)\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(E_2)}$。

若${\displaystyle E_1,E_2,E_3\cdots <!--\; \cdots \; -->}$为可测集（不必是两两不交的），则集合${\displaystyle E_n}$的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：

如果还满足并且对于所有的${\displaystyle n}$，${\displaystyle E_n}$⊆${\displaystyle E_{n+1}}$，则如下极限式成立：

若${\displaystyle E_1,E_2,\cdots <!--\; \cdots \; -->}$为可测集，并且对于所有的${\displaystyle n}$，${\displaystyle E_{n+1}}$⊆${\displaystyle E_n}$，则${\displaystyle E_n}$的交集是可测的。进一步说，如果至少一个${\displaystyle E_n}$的测度有限，则有极限：

如若不假设至少一个${\displaystyle E_n}$的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个${\displaystyle n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}$，令

这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。

如果${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(X)}$是一个有限实数（而不是${\displaystyle \mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$），则测度空间${\displaystyle (X,\mathcal{A},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}$称为有限测度空间。非零的有限测度与概率测度类似，因为可以通过乘上比例因子${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(X)}}$进行归一化。如果${\displaystyle X}$可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$-有限测度空间。如果测度空间中的一个集合${\displaystyle A}$可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，就称${\displaystyle A}$具有${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$-有限测度。

作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$-有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑闭区间族，k取遍所有的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为${\displaystyle \mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$。这样的测度空间就不是${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$-有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$-有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$-有限性可以类比于拓扑空间的可分性。

对于一个可测集${\displaystyle N}$，若${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(N)=0}$成立，则称为零测集，其子集称为可去集。

一个可去集未必是可测的，但零测集一定是可去集。

如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：

考虑${\displaystyle X}$的所有与某个可测集${\displaystyle E}$仅差一个可去集的子集${\displaystyle F}$，可得到${\displaystyle E}$与${\displaystyle F}$的对称差包含于一个零测集中。

由这些子集${\displaystyle F}$生成的σ代数，并定义${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(F)=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(E)}$，所得到的测度即为完备测度。

下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。

其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。