算符

在物理学里，算符（operator），又称算子，作用于物理系统的状态空间，使得物理系统从某种状态变换为另外一种状态。这变换可能相当复杂，需要用很多方程来表明，假若能够使用算符来代表，可以更为简单扼要地表达论述。对于很多案例，假若作用的对象有所迥异，算符的物理行为也会不同；但是，对于有些案例，算符的物理行为具有一般性，这时，就可以将论题抽象化，专注于研究算符的物理行为，不必顾虑到状态的独特性。这方法比较适用于一些像对称性或守恒定律的论题。因此，在经典力学里，算符是很有用的工具。在量子力学里，算符为理论表述不可或缺的要素。对于更深奥的理论研究，可能会遇到很艰难的数学问题，算符理论（operator theory）能够提供高功能的架构，使得数学推导更为简洁精致、易读易懂，更能展现出内中物理涵意。一般而言，在经典力学里的算符大多作用于函数，这些函数的参数为各种各样的物理量，算符将某函数映射为另一种函数。这种算符称为“函数算符”。在量子力学里的算符称为“量子算符”，作用的对象是量子态。量子算符将某量子态映射为另一种量子态。在经典力学里，粒子（或一群粒子）的动力行为是由拉格朗日量 L ( q ,   q ˙ ,   t ) {displaystyle {mathcal {L}}(mathbf {q} , {dot {mathbf {q} }}, t)} 或哈密顿量 H ( q ,   p ) {displaystyle {mathcal {H}}(mathbf {q} , mathbf {p} )} 决定；其中， q = ( q 1 , q 2 , q 3 , … , q n ) {displaystyle mathbf {q} =(q_{1},q_{2},q_{3},dots ,q_{n})} 、 q ˙ = ( q 1 ˙ , q 2 ˙ , q 3 ˙ , … , q ˙ n ) {displaystyle {dot {mathbf {q} }}=({dot {q_{1}}},{dot {q_{2}}},{dot {q_{3}}},dots ,{dot {q}}_{n})} 分别是广义坐标、广义速度， p = ( p 1 , p 2 , p 3 , … , p n ) = ∂ L ∂ q ˙ {displaystyle mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3},dots ,p_{n})={frac {partial {mathcal {L}}}{partial {dot {mathbf {q} }}}}} 是共轭动量， t {displaystyle t} 是时间。假设拉格朗日量 L {displaystyle {mathcal {L}}} 或哈密顿量 H {displaystyle {mathcal {H}}} 与某广义坐标 q i {displaystyle q_{i}} 无关，则当 q i {displaystyle q_{i}} 有所改变时， L {displaystyle {mathcal {L}}} 或 H {displaystyle {mathcal {H}}} 仍旧会保持不变，这意味着粒子的动力行为也会保持不变，对应于 q i {displaystyle q_{i}} 的共轭动量 p i {displaystyle p_{i}} 守恒。对于广义坐标 q i {displaystyle q_{i}} 的改变，动力行为所具有的不变性是一种对称性。在经典力学里，当研读有关对称性的课题时，算符是很有用的工具。特别而言，假设对于某种群 G {displaystyle G} 的变换运算，物理系统的哈密顿量是个不变量；也就是说，假设 S ∈ G {displaystyle Sin G} ，在这案例里，所有 G {displaystyle G} 的元素 S {displaystyle S} 都是物理算符，能够将物理系统从某种状态变换为另一种状态；尽管 S {displaystyle S} 作用于这物理系统，哈密顿量守恒不变。举一个关于平移于空间的简单例子。“平移算符” T a {displaystyle T_{a}} 能够将粒子从坐标为 q i {displaystyle q_{i}} 移动至坐标为 q i + a {displaystyle q_{i}+a} ，以方程表示：其中， f ( q i ) {displaystyle f(q_{i})} 是描述一群粒子的密度函数。给定一个对于平移变换具有不变性的物理系统，则尽管 T a {displaystyle T_{a}} 的作用，这物理系统的哈密顿量 H {displaystyle {mathcal {H}}} 是个不变量，对应于坐标 q i {displaystyle q_{i}} 的动量 p i {displaystyle p_{i}} 守恒。对于一个微小的平移变换，猜测平移算符的形式为其中， I {displaystyle I} 是“单位算符”──变换群的单位元， ϵ {displaystyle epsilon } 是微小参数， A {displaystyle A} 是专门用来设定平移变换群的生成元。为了简化论述，只考虑一维案例，推导平移于一维空间的生成元。将平移算符 T ϵ {displaystyle T_{epsilon }} 作用于函数 f ( x ) {displaystyle f(x)} ：由于 ϵ {displaystyle epsilon } 很微小，可以泰勒近似 f ( x − ϵ ) {displaystyle f(x-epsilon )} 为重写平移算符的方程为其中，导数算符 D = d d x {displaystyle mathrm {D} ={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}} 是平移群的生成元。总结，平移群的生成元是导数算符。在正常状况下，通过指数映射，可以从生成元得到整个群。对于平移于空间这案例，重复地做 N {displaystyle N} 次微小平移变换 T a / N {displaystyle T_{a/N}} ，来代替一个有限值为 a {displaystyle a} 的平移变换 T a {displaystyle T_{a}} ：现在，让 N {displaystyle N} 变得无穷大，则因子 a / N {displaystyle a/N} 趋于无穷小：这表达式的极限为指数函数：核对这结果的正确性，将指数函数泰勒展开为幂级数：这方程的右手边可以重写为这正是 f ( x − a ) {displaystyle f(x-a)} 的泰勒级数，也是 T a f ( x ) {displaystyle T_{a}f(x)} 的原本表达式结果。物理算符的数学性质是很重要的研读论题。更多相关内容，请参阅条目C*-代数与盖尔范德-奈马克定理（Gelfand-Naimark theorem）。在量子力学里，算符的功能被发挥得淋漓尽致。量子力学的数学表述建立于算符的概念。量子系统的量子态可以用态矢量设定，态矢量是矢量空间的单位范数矢量。在矢量空间内，量子算符作用于量子态，使它变换成另一个量子态。由于物体的态矢量范数应该保持不变，量子算符必须是幺正算符。假若变换前的量子态与变换后的量子态，除了乘法数值以外，两个量子态相同，则称此量子态为本征态，称此乘法数值为本征值。:11-12物理实验中可以观测到的物理量称为可观察量。每一个可观察量，都有其对应的算符。可观察量的算符也许会有很多本征值与本征态。根据统计诠释，每一次测量的结果只能是其中的一个本征值，而且，测得这本征值的机会呈概率性，量子系统的量子态也会改变为对应于本征值的本征态。:106-109假设，物理量 O {displaystyle O} 是某量子系统的可观察量，其对应的量子算符 O ^ {displaystyle {hat {O}}} 可能有很多不同的本征值 O i {displaystyle O_{i}} 与对应的本征态 | e i ⟩ {displaystyle |e_{i}rangle } ，这些本征态 | e i ⟩ , i = 1 ,   2 ,   3 ,   ⋯ {displaystyle |e_{i}rangle ,quad i=1, 2, 3, cdots } ，形成了具有正交归一性的基底：:96-99其中， δ i j {displaystyle delta _{ij}} 是克罗内克函数。假设，某量子系统的量子态为其中， c i = ⟨ e i | ψ ⟩ {displaystyle c_{i}=langle e_{i}|psi rangle } 是复系数，是在 | e i ⟩ {displaystyle |e_{i}rangle } 里找到 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } 的概率幅。:50测量这动作将量子态 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } 改变为本征态 | e i ⟩ {displaystyle |e_{i}rangle } 的概率为 p i = | c i | 2 {displaystyle p_{i}=|c_{i}|^{2}} ，测量结果是本征值 O i {displaystyle O_{i}} 的概率也为 p i {displaystyle p_{i}} 。在量子力学里，重复地做同样实验，通常会得到不同的测量结果，期望值是理论平均值，可以用来预测测量结果的统计平均值。采用狄拉克标记，对于量子系统的量子态 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } ，可观察量 O {displaystyle O} 的期望值 ⟨ O ⟩ {displaystyle langle Orangle } 定义为:24-25其中， O ^ {displaystyle {hat {O}}} 是对应于可观察量 O {displaystyle O} 的算符。将算符 O ^ {displaystyle {hat {O}}} 作用于量子态 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } ，会形成新量子态 | ϕ ⟩ {displaystyle |phi rangle } ：从左边乘以量子态 ⟨ ψ | {displaystyle langle psi |} ，经过一番运算，可以得到所以，每一个本征值与其概率的乘积，所有乘积的代数和，就是可观察量 O {displaystyle O} 的期望值：将上述定义式加以推广，就可以用来计算任意函数 F ( O ) {displaystyle F(O)} 的期望值：例如， F ( O ^ ) {displaystyle F({hat {O}})} 可以是 O ^ 2 {displaystyle {hat {O}}^{2}} ，即重复施加算符 O ^ {displaystyle {hat {O}}} 两次：假设两种可观察量 A {displaystyle A} 、 B {displaystyle B} 的算符分别为 A ^ {displaystyle {hat {A}}} 、 B ^ {displaystyle {hat {B}}} ，它们的对易算符定义为对易算符是由两种算符组合而成的复合算符，当作用于量子态 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } 时，会给出假设 [ A ^ , B ^ ] = 0 {displaystyle =0} ，则称这两种可观察量为“相容可观察量”，否则， [ A ^ , B ^ ] ≠ 0 {displaystyle neq 0} ，称这两种可观察量为“不相容可观察量”。假设两种可观察量为不相容可观察量，则由于不确定原理，绝无法制备出这两种可观察量在任意精确度内的量子系统。注意到这是一个关于制备方面的问题，不是一个关于测量方面的问题。假若精心设计测量实验，装备足够优良的测量仪器，则对于某些量子系统，测量这两种可观察量至任意精确度是很容易达成的任务。每一种经过测量而得到的物理量都是实值，因此，可观察量 O {displaystyle O} 的期望值是实值：对于任意量子态 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } ，这关系都成立：根据伴随算符的定义，假设 O ^ † {displaystyle {hat {O}}^{dagger }} 是 O ^ {displaystyle {hat {O}}} 的伴随算符，则 ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | O ^ † | ψ ⟩ {displaystyle langle psi |{hat {O}}|psi rangle ^{*}=langle psi |{hat {O}}^{dagger }|psi rangle } 。因此，这正是厄米算符的定义。所以，表现可观察量的算符，都是厄米算符。:96-99应用基底的完备性，添加单位算符 I ^ = ∑ i | e i ⟩ ⟨ e i | {displaystyle {hat {I}}=sum _{i}|e_{i}rangle langle e_{i}|} 于算符 O ^ {displaystyle {hat {O}}} 的两旁，可以得到:20-23其中， O i j = ⟨ e i | O ^ | e j ⟩ {displaystyle O_{ij}=langle e_{i}|{hat {O}}|e_{j}rangle } 是求和式内每一个项目的系数。所以，量子算符可以用矩阵形式来代表：算符 O ^ {displaystyle {hat {O}}} 与它的伴随算符 O ^ † {displaystyle {hat {O}}^{dagger }} 彼此之间的关系为所以，分别代表这两个算符的两个矩阵，彼此是对方的转置共轭。对于厄米算符，代表的矩阵是个实值的对称矩阵。用矩阵代数来计算算符 O ^ {displaystyle {hat {O}}} 怎样作用于量子态 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } ，假设系统因此变换为量子态 | ϕ ⟩ {displaystyle |phi rangle } ：从左边乘以本征态 ⟨ e i | {displaystyle langle e_{i}|} ，应用基底的完备性，添加单位算符 I ^ {displaystyle {hat {I}}} 于算符的右边，可以得到右矢 | ϕ ⟩ {displaystyle |phi rangle } 、 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } 分别用竖矩阵来代表两个竖矩阵彼此之间的关系为假设算符 O ^ {displaystyle {hat {O}}} 是厄米算符，则其所有本征态都相互正交。以矩阵来代表算符，可以计算出一组本征值与对应的本征态，每一次做测量会得到的结果只能是这一组本征值中之一。由于本征态的正交性质，可以找到一组基底来表示每一种量子态。解析方块矩阵的特征多项式，就可以找到本征值 λ {displaystyle lambda } ：在这表格里，算符的表现空间是位置空间。假若表现空间是其它种空间，则表示出的方程会不一样。在英文字母上方的尖角号表示整个符号代表的是个量子算符，不是单位矢量。p ^ x = − i ℏ ∂ ∂ x p ^ y = − i ℏ ∂ ∂ y p ^ z = − i ℏ ∂ ∂ z {displaystyle {begin{aligned}{hat {p}}_{x}&=-ihbar {frac {partial }{partial x}}\{hat {p}}_{y}&=-ihbar {frac {partial }{partial y}}\{hat {p}}_{z}&=-ihbar {frac {partial }{partial z}}end{aligned}}}p ^ = − i ℏ ∇ {displaystyle mathbf {hat {p}} =-ihbar nabla }p ^ x = − i ℏ ∂ ∂ x − q A x p ^ y = − i ℏ ∂ ∂ y − q A y p ^ z = − i ℏ ∂ ∂ z − q A z {displaystyle {begin{aligned}{hat {p}}_{x}=-ihbar {frac {partial }{partial x}}-qA_{x}\{hat {p}}_{y}=-ihbar {frac {partial }{partial y}}-qA_{y}\{hat {p}}_{z}=-ihbar {frac {partial }{partial z}}-qA_{z}end{aligned}}}p ^ = − i ℏ ∇ − q A {displaystyle mathbf {hat {p}} =-ihbar nabla -qmathbf {A} }T ^ x = − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 T ^ y = − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ y 2 T ^ z = − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ z 2 {displaystyle {begin{aligned}{hat {T}}_{x}&=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}\{hat {T}}_{y}&=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}\{hat {T}}_{z}&=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}\end{aligned}}}T ^ = T ^ x + T ^ y + T ^ z = − ℏ 2 2 m ∇ 2 {displaystyle {begin{aligned}{hat {T}}&={hat {T}}_{x}+{hat {T}}_{y}+{hat {T}}_{z}\&={frac {-hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}\end{aligned}}}T ^ x = 1 2 m ( − i ℏ ∂ ∂ x − q A x ) 2 T ^ y = 1 2 m ( − i ℏ ∂ ∂ y − q A y ) 2 T ^ z = 1 2 m ( − i ℏ ∂ ∂ z − q A z ) 2 {displaystyle {begin{aligned}{hat {T}}_{x}&={frac {1}{2m}}left(-ihbar {frac {partial }{partial x}}-qA_{x}right)^{2}\{hat {T}}_{y}&={frac {1}{2m}}left(-ihbar {frac {partial }{partial y}}-qA_{y}right)^{2}\{hat {T}}_{z}&={frac {1}{2m}}left(-ihbar {frac {partial }{partial z}}-qA_{z}right)^{2}end{aligned}}}T ^ = p ^ ⋅ p ^ 2 m = 1 2 m ( − i ℏ ∇ − q A ) ⋅ ( − i ℏ ∇ − q A ) = 1 2 m ( − i ℏ ∇ − q A ) 2 {displaystyle {begin{aligned}{hat {T}}&={frac {mathbf {hat {p}} cdot mathbf {hat {p}} }{2m}}\&={frac {1}{2m}}(-ihbar nabla -qmathbf {A} )cdot (-ihbar nabla -qmathbf {A} )\&={frac {1}{2m}}(-ihbar nabla -qmathbf {A} )^{2}end{aligned}}}T ^ x x = J ^ x 2 2 I x x T ^ y y = J ^ y 2 2 I y y T ^ z z = J ^ z 2 2 I z z {displaystyle {begin{aligned}{hat {T}}_{xx}&={frac {{hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\{hat {T}}_{yy}&={frac {{hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\{hat {T}}_{zz}&={frac {{hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\end{aligned}}}T ^ = J ^ ⋅ J ^ 2 I {displaystyle {hat {T}}={frac {mathbf {hat {J}} cdot mathbf {hat {J}} }{2I}}}E ^ = i ℏ ∂ ∂ t {displaystyle {hat {E}}=ihbar {frac {partial }{partial t}}}不含时位势： E ^ = E {displaystyle {hat {E}}=E}其中，σ x = ( 0 1 1 0 ) {displaystyle sigma _{x}={begin{pmatrix}0&1\1&0end{pmatrix}}}σ y = ( 0 − i i 0 ) {displaystyle sigma _{y}={begin{pmatrix}0&-i\i&0end{pmatrix}}}σ z = ( 1 0 0 − 1 ) {displaystyle sigma _{z}={begin{pmatrix}1&0\0&-1end{pmatrix}}}是自旋1/2粒子的泡利矩阵。其中，矢量 σ {displaystyle {boldsymbol {sigma }}} 的分量是泡利矩阵。只思考一维问题，将位置算符 x ^ {displaystyle {hat {x}}} 施加于位置本征态 | x ⟩ {displaystyle |xrangle } ，可以得到本征值 x {displaystyle x} ，即粒子的位置：:220-221由于位置基底具有完整性， I ^ = ∫ − ∞ ∞   | x ⟩ ⟨ x | d x {displaystyle {hat {I}}=int _{-infty }^{infty } |xrangle langle x|mathrm {d} x} ，任意量子态 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } 可以按着位置本征态形成的基底展开：将位置算符 x ^ {displaystyle {hat {x}}} 施加于量子态 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } ，由于算符 x ^ {displaystyle {hat {x}}} 只作用于右矢 | x ⟩ {displaystyle |xrangle } ，与其它数学个体无关，可以移入积分式内：左矢 ⟨ ψ | {displaystyle langle psi |} 与这方程的内积为设定量子态 | α ⟩ = x ^ | ψ ⟩ {displaystyle |alpha rangle ={hat {x}}|psi rangle } 。由于位置基底具有完整性， I ^ = ∫ − ∞ ∞   | x ⟩ ⟨ x | d x {displaystyle {hat {I}}=int _{-infty }^{infty } |xrangle langle x|mathrm {d} x} ，量子态 ⟨ ψ | {displaystyle langle psi |} 与 | α ⟩ {displaystyle |alpha rangle } 的内积，可以按着位置本征态形成的基底展开为将这两个积分式加以比较，立刻可以辨识出全等式设定量子态 | Ψ ⟩ = x ^ | ψ ⟩ {displaystyle |Psi rangle ={hat {x}}|psi rangle } 。量子态 | Ψ ⟩ {displaystyle |Psi rangle } 、 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } 的位置空间表现，即波函数，分别定义为两个波函数 Ψ ( x ) {displaystyle Psi (x)} 、 ψ ( x ) {displaystyle psi (x)} 之间的关系为总结，位置算符 x ^ {displaystyle {hat {x}}} 作用于量子态 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } 的结果 | Ψ ⟩ {displaystyle |Psi rangle } ，表现于位置空间，等价于波函数 ψ ( x ) {displaystyle psi (x)} 与 x {displaystyle x} 的乘积 Ψ ( x ) {displaystyle Psi (x)} 。表现于位置空间，一维动量算符为将动量算符 p ^ {displaystyle {hat {p}}} 施加于量子态 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } ，可以得到类似前一节得到的结果：应用位置基底所具有的完整性，对于任意量子态 | ϕ ⟩ {displaystyle |phi rangle } ，可以得到更广义的结果：其中， ϕ ( x ) = ⟨ x | ϕ ⟩ {displaystyle phi (x)=langle x|phi rangle } 、 ψ ( x ) = ⟨ x | ψ ⟩ {displaystyle psi (x)=langle x|psi rangle } 分别是量子态 | ϕ ⟩ {displaystyle |phi rangle } 、 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } 表现于位置空间的波函数。假设 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } 是 p ^ {displaystyle {hat {p}}} 的本征态，本征值为 p {displaystyle p} ，则可得到将 | ψ ⟩ {displaystyle |psi rangle } 改写为本征值为 p {displaystyle p} 的本征态 | p ⟩ {displaystyle |prangle } ，方程改写为这微分方程的解析解为所以，动量本征态的波函数是一个平面波。不需要应用薛定谔方程，就可以推导求得这出结果。:50-54