周期点

在数学中，特别是在迭代函数和动态系统领域，周期点是指被多次迭代后又映射到自身的点。这里的迭代次数叫做周期。周期为1的周期点被称为不动点。

设${\displaystyle f}$是集合${\displaystyle X}$上的自同态函数

若存在${\displaystyle n}$，使得

则${\displaystyle x}$是周期为${\displaystyle n}$的周期点。这里，${\displaystyle f^n}$是${\displaystyle f}$的${\displaystyle n}$次迭代。使得上式成立的最小正整数被称为最小周期。

设${\displaystyle p}$是函数${\displaystyle f(x)}$的以${\displaystyle n}$为周期的周期点，若

则${\displaystyle p}$是双曲周期点。若

则称周期点p为吸引子；若

则称周期点p为排斥子。

若该周期点的稳定流形的维数为0，则称其为源点；若不稳定流形的维数为0，则称其为汇点；若稳定流形和不稳定流形的维数均不为0，则称其为鞍点。

给定一个连续时间动态系统${\displaystyle (\mathbb{R},X,\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->})}$，其中${\displaystyle X}$是相空间，${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$是状态转移函数，

若存在${\displaystyle t>=0}$，${\displaystyle x\in <!--\; \in \; -->X}$，使得

则${\displaystyle x}$被称为以${\displaystyle t}$为周期的周期点，使上式成立的最小正数${\displaystyle t}$被称为最小周期。

设${\displaystyle x}$是以${\displaystyle t}$为周期的周期点，则对于任意实数${\displaystyle s}$，${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(s,x)=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(s+t,x)}$都成立。设轨迹${\displaystyle {\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_x}$经过周期点${\displaystyle x}$，则该轨迹上的所有点均为周期点，且最小周期与${\displaystyle x}$的最小周期相等。