卡方分布

卡方分布（chi-square distribution, ²-distribution，或写作²分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是统计推断中应用最为广泛的概率分布之一，例如假设检验和置信区间的计算。

由卡方分布延伸出来皮尔森卡方检定常用于：

若个随机变量、……、是相互独立，符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量的平方和

被称为服从自由度为 的卡方分布，记作

可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。

卡方分布的概率密度函数为：

其中x≥0，当x≤0时${\displaystyle f_k(x)=0}$的卡方变量的平均值是，方差是。卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：

其中${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}$个随机变量、……、是相互独立，符合标准正态分布的随机变量，则它们与均值之间偏差的平方和

${\displaystyle X=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(Z_i-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Z}{)}^2\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1}^2}$

其中均值

${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Z}=\frac{1}{k}\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{Z}_i}$

它的平方正比于自由度为1的卡方分布，即

${\displaystyle n{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Z}}^2\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_1^2}$

p-value = 1- p_CDF.

χ2越大，p-value越小，则可信度越高。通常用p=0.05作为阈值，即95%的可信度。

常用的χ2与p-value表如下: