积分方程

✍ dations ◷ 2025-03-07 10:54:46 #方程,积分学,泛函分析

积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。

积分方程最基本的形式为第一类弗里德霍姆方程：

其中， $f {\displaystyle f}$ $f$ 和 $K {\displaystyle K}$ $K$ 已知， $K {\displaystyle K}$ $K$ 又称核函数， $\phi$ $\phi$ 为所求未知函数。积分上下限 $a {\displaystyle a}$ $a$ ， $b {\displaystyle b}$ $b$ 为常量。

如未知函数同时出现在积分符号内外，则该方程称作第二类弗里德霍姆方程：

$\lambda$ $\lambda$ 作为未知因子，起到与线性代数中特征值类似的作用。

如果积分上限或下限为变量，则该方程称为伏尔泰拉方程。第一类和第二类伏尔泰拉方程有下述形式：

如果 $f {\displaystyle f}$ $f$ 始终为 $0 {\displaystyle 0}$ $0$ ，以上所有方程称为齐次，否则，称为非齐次。

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