对顶角

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:09:35 #几何术语,角

在几何学中,对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点,并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说,其中的一个角是另一个的对顶角。

对顶角满足下列定理:两直线相交,对顶角相等。

用数学语言描述就是(如右图):

泰勒斯生于希腊,是一位擅长于几何学的数学家及哲学家。他一生发现了多个几何学定理,包括等腰三角形中的“等边对等角”定理,也包括对顶角定理。

设直线AD、BC交于点O,那么,∠AOB和∠AOC 互为邻补角。根据邻补角的性质,

其中 π {\displaystyle \pi } 是一个平角的弧度数。

类似地,∠COD和∠AOC 互为邻补角。根据邻补角的性质,

因此, A O B + A O C = π = C O D + A O C {\displaystyle \angle AOB+\angle AOC=\pi =\angle COD+\angle AOC}

两边减去相同的角度 A O C {\displaystyle \angle AOC} 后,就得到

同样地,可以证明 A O C = B O D {\displaystyle \angle AOC=\angle BOD}

对顶角通常用于测量角度以及证明全等三角形。以下是一个利用对顶角证明全等三角形的例子:

如右图,已知AB=CD,∠BAE=∠CDE。求证: A B E D C E {\displaystyle \triangle ABE\cong \triangle DCE}

证明:在△ABE与△DCE中,

因此, A B E D C E {\displaystyle \triangle ABE\cong \triangle DCE}


在以上证明中,∠AEB=∠CED的结论就是通过对顶角定理得出的。注意,在一般的几何证明中,对顶角定理并不需要显式地叙述出来,可以当作是默认的条件。

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