论法拉第力线

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:04:01 #电磁学,电动力学,詹姆斯·克拉克·马克士威

《论法拉第力线》(On Faraday's Lines of Force)是詹姆斯·麦克斯韦于1855年发表的一篇论文。这是他从阅读了麦可·法拉第的著作《电的实验研究》(Experimental Researches in Electricity)之后,得到启发而撰写的一篇论文。麦克斯韦将法拉第想出的力线延伸为装满了不可压缩流体的“力管”。这力管的方向代表力场(电场或磁场)的方向,力管的截面面积与力管内的流体速度成反比,而这流体速度可以比拟为电场或磁场。既然电场或磁场能够比拟为流体速度,当然可以要求电场或磁场遵守流体力学的部分理论。那么,借用流体力学的一些数学框架,即可推导出一系列初成形的电磁学雏论。麦克斯韦这样陈述:

在那时期的电磁学可以形容为众多实验结果和数学分析的大杂烩,急需整合成一套内外一致,有条有理的学术理论。装备着剑桥大学物理系对于物理学生精心栽培的比拟能力,麦克斯韦试图创建一个能够描述各种电磁现象的模型。他首先提到了威廉·汤姆孙想出的比拟案例。汤姆孙发现,描述热传导于均匀物质的傅里叶热传导定律,与静电学内描述电场和电势之间的关系式,它们的方程的形式相同。傅里叶热传导定律以方程表达为

其中, Γ {\displaystyle \Gamma } 是热通量(heat flux), k {\displaystyle k} 是物质的热导率, T {\displaystyle T} 是温度。

电场和电势之间的关系式表达为

其中, E {\displaystyle E} 是电场, ϕ {\displaystyle \phi } 是电势。

很明显地,设定热导率 k = 1 {\displaystyle k=1} ,则电势可以比拟为温度,而电场可以比拟为热通量。法拉第的电力线变为了热流线,等势线(equipotential)变为了等温线。所以,解析热传导问题的方法,可以用来解析静电学问题。

麦克斯韦又注意到一个问题:热传导依赖的是物质的紧邻的两个粒子之间互相接触而产生的“邻接作用”(contiguous action);思考两个相距很远的电荷,不经过任何媒介,互相直接施加于对方的作用力,假若电场力是这种作用力,则电场力是一种超距作用(action at a distance)。两种完全不同的物理现象,居然可以用同样形式的数学方式来描述,这给予麦克斯韦很大的遐想空间。

麦克斯韦觉得热传导机制只能够有限地比拟出电磁场的物理现象。他认为流体流动机制具有更大的威力,更多的功能来比拟静电学和静磁学。他开始探索不可压缩流体的性质。按照定义,不可压缩流体的任何部分的体积不会因为时间的演进而改变。这是一种假想的理想流体,是一种非常简单的流体。麦克斯韦更进一步假设流体的流动是稳定的;在任何位置,流动的方向和速率不含时间。这样,就不用考虑时间的因素。流体内部任意元素,随着流动,会描绘出一条曲线,称为“流动线”。法拉第想出的力线可以比拟为流动线。

设想围绕着流动线的一个圆环,其每一个流体元素,随着流动,会共同描绘出一条假想的“力管”。在力管外面的流体不会流入力管内;在力管里面的流体也不会流出力管外。假设力管在某位置的截面面积为 σ {\displaystyle \sigma } ,流速大小为 v {\displaystyle v} ,则每单位时间流过此截面的流体体积为 v σ {\displaystyle v\sigma } 。定义“单位力管”为每单位时间流过截面的流体体积为 1 {\displaystyle 1} 的力管。对于单位力管

流速大小 v {\displaystyle v} 越快,力管的截面面积越小;反之,则截面面积越大。

为了满足流体体积的守恒,每一个力管,必须有一个力管源和力管壑。流体从力管源流出来,经过力管,最终流入力管壑。

举一个单独力管源例子。在三维空间里,假设位于参考系的原点有一个力管源,每单位时间流出的流体体积为 m {\displaystyle m} 。流体最终流入位于无穷远的力管壑。在与此力管源的径向距离为 r {\displaystyle r} 的位置的流速大小为

单位力管的截面面积为

在三维空间中,总共会存在有 m {\displaystyle m} 个单位力管。这些单位力管填满了整个空间,不会露出任何空隙。

在三维空间里,假设位于参考系的原点有一个力管壑,每单位时间流入的流体体积为 m {\displaystyle m} 。流体最初是由位于无穷远的力管源流出。在与此力管源的径向距离为 r {\displaystyle r} 的位置的流速大小为

因为流体的流动方向是朝着力管壑,所以流速大小是负值。

这不可压缩流体系统遵守叠加原理。给予三个流体流动系统,假设第三个系统在每一个位置的流速,是另外两个系统在同样位置的流速的矢量和。则通过第三个系统的一个曲面的每单位时间的流体体积,等于通过另外两个系统的同样曲面的每单位时间的流体体积的和。

麦克斯韦的流体没有质量,没有惯性,与牛顿运动定律无关。他提出的模型是几何模型,不是物理模型。称力管内的两个截面之间的流体为“流动截体”。为了要赋予这模型流动所需的动力,麦克斯韦假设力管内的流动截体会感受到压差 Δ p {\displaystyle \Delta p} ,前面阻挡的压强小于后面推撞的压强,因此,流动截体会往前方流动。

当流体经过介质时,会感受到一股与流速成正比的阻力,以方程表达为

其中, f {\displaystyle f} 是单位体积感受到的阻力, k {\displaystyle k} 是介质的“阻抗系数”。

由于这阻力的作用,使得流动截体的前面阻挡的压强小于后面推撞的压强。每往前面移动单位长度,压强会减少 k v {\displaystyle kv} 。对于单位力管,一个截面面积为 σ {\displaystyle \sigma } ,厚度为 h {\displaystyle h} 的流动截体,所感受到的阻力大小为 f σ h {\displaystyle f\sigma h} ,压差为 Δ p = k v h {\displaystyle \Delta p=kvh} 。定义 Δ p = 1 {\displaystyle \Delta p=1} 的流动截体为“单位流胞”。截面面积越大,单位流胞的厚度也越大;其关系为

给予一个流体系统的等压曲面,则可计算出在空间所有位置的流速,也可以布置好所有的单位力管,包括其力管源和力管壑。反之,给予一个系统所有的力管源和力管壑,则可计算出在空间所有位置的流速,也可以计算出等压曲面。

给予一个流体系统,已知其在每一个位置的压强、力管源分布和力管壑分布,假设其介质的阻抗系数为 k {\displaystyle k} 。这个系统等价于一个介质的阻抗系数为 1 {\displaystyle 1} 、力管源和力管壑的流量分别为 k {\displaystyle k} 倍的系统。两个系统在每一个位置的压强相等,流速也相等。

这流体系统仍旧遵守叠加原理。给予三个流体流动系统,假设第三个系统在每一个位置的压强,是另外两个系统在同样位置的压强和。则第三个系统在三维空间内每一个位置的流速,是另外两个系统在同样位置的流速的矢量和。

回想前述单独力管源例子。径向距离 r {\displaystyle r} 越远,压强 p {\displaystyle p} 越小;压强的变率为

r {\displaystyle r} 为无穷远时, p = 0 {\displaystyle p=0} ,所以压强为

麦克斯韦想出的不可压缩流体模型能够比拟很多电磁现象,例如,静电作用、静磁作用、感应磁场作用、电流等等。

回想前述单独力管源例子。将源电荷 q {\displaystyle q} 比拟为力管源,将电场比拟为流速。那么,可以得到电场 E {\displaystyle E} 与距离的关系式:

将电势比拟为压强。力管源与压强 p {\displaystyle p} 的关系式为

按照这关系式,设定 k = 1 {\displaystyle k=1} ,可以得到电势 V {\displaystyle V} 与源电荷的关系式:

电势与电场的关系式为

假设电介质消弱了电场和电势,则对应的流速和压强也会减小,通过减小阻抗系数 k {\displaystyle k} ,就可以减小压强,但不能减小流速,因为流速只与力管源、力管壑和距离有关。所以,不能直接地靠着减小阻抗系数 k {\displaystyle k} 来比拟电介质的效应。必须换一种方法,如同前面所述,将这阻抗系数为 k {\displaystyle k} 的介质替换为阻抗系数为 1 {\displaystyle 1} 的介质,又将所有力管源和力管壑的流量分别增加为 k {\displaystyle k} 倍。这样,流速和压强就可以分别比拟为电场和电势。

在两个阻抗系数不同的区域的界面,由于界面两边的阻抗系数不同,会形成不同流量的力管源和力管壑。所以,会有合力管源或合力管壑出现于界面。这对应于电介质的感应表面电荷。

如同静电场,静磁场也遵守反平方定律。所以,可以使用同样的方法来比拟静磁场。麦克斯韦将磁铁视为由单独的磁粒子组成的,每一个磁粒子都有自己的磁北极和磁南极,分别可以比拟为力管源和力管壑。那么,磁力线即可比拟为流动线,流速比拟为磁场,压强比拟为“磁标势”。

永久磁铁有一个磁南极和一个磁北极。按照常规,磁力线从磁北极出来,经过空间,回到磁南极。试想磁铁是由许多“磁胞”组成的。每一个磁胞都有一个磁南极和一个磁北极。那么,就可以用“流胞”来比拟磁胞。每一个流胞都有一个力管源和一个力管壑,分别对应于磁北极和磁南极。聚集在一起,相邻的流胞之间的力管源会与力管壑相互抵消。所以,整体看来,磁铁的磁北极对应于其“北表面”的一个巨观的力管源,而磁南极则对应于其“南表面”的一个巨观的力管壑。

法拉第最先提出“电紧张态”(electro-tonic state)的概念。在研究电磁感应理论时,他发现当将物体放在磁铁或电流的附近时,物体会进入一种状态。假若不打扰这系统,则处于此状态的物体不会自发地显示出任何现象。但是,一当系统有所变化,像磁铁被移动了,或电流被增大了,则这状态也会改变,因而产生电流或趋向产生电流。法拉第称此状态为“电紧张态”。但是,他并没有很明确的说明这概念。

后来,开尔文男爵于1851年引入磁矢势的概念,并且给定磁矢势与磁场之间的关系:

麦克斯韦在他的流体模型里,找不到任何电紧张态可以扮演的角色。麦克斯韦这样陈述:

在这里,麦克斯韦遇到了一点小困难。这是因为他设计的流体是稳定流体,在任何位置,流体的流动方向和速率不含时间。整个系统都是稳定的,不会因时间而改变。可是,电紧张态只能在系统改变时才会改变和显现其效应。所以,麦克斯韦的流体模型找不到任何变量来比拟电紧张态。还有,麦克斯韦的流体模型可以比拟各种电场和磁场的现象,但都是孤立的现象;麦克斯韦的流体模型无法比拟综合的电磁感应现象。在论文《论物理力线》里,麦克斯韦会赋予他的模型更强大的威力,更丰富的功能来比拟各种电磁现象,并且创先地预测出电势移的存在。

在这篇论文的后半部分,麦克斯韦开始仔细分析电紧张态的物理性质。他给出一条重要定律:作用于一个导体的微小元素的电场,可以由该微小元素的电紧张态对于时间的导数来衡量。以现代标记表示,这方程为

这是麦克斯韦学术生涯中的第一个重要突破,他将法拉第的电紧张态辨识为开尔文男爵的磁矢势,并且对于电紧张态给出严格定义。

对于电紧张态的定义式取旋度,则可得到法拉第感应方程:

麦克斯韦在这篇论文特别提出,开尔文男爵于1851发现的关于磁矢势的数学性质,即任意添加一个函数的梯度给磁矢势,都不会改变磁矢势与磁场的关系式、法拉第感应方程,这数学性质后来演化为现今规范自由的概念。

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