接近整数

在趣味数学中，接近整数是指很接近整数的无理数。这类数字中，有些因为其数学上的特性使其接近整数，有些还找不到其特性，看起来似乎只是巧合。

黄金比例${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx <!--\; \approx \; -->1.618}$的一些高次方符合此特性。例如

这些数字接近整数的原因和黄金比例的特性有关，不是数学巧合。其原因是因为黄金比例为皮索特-维贡伊拉卡文数，而皮索特-维贡伊拉卡文数的高次方会是接近整数。

这些数字与费波纳契数有密切的关系，因为费波纳契数相邻两项的比值会趋近于黄金比例，而如果m整除n，则第m个费波纳契数也会整除第n个费波纳契数。

皮索特-维贡伊拉卡文数是指代数数本身大于1，而且其极小多项式中另一根的绝对值小于1。像黄金比例本身大于1，${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$的最小多项式为${\displaystyle x^2-<!--\; -\; -->x-<!--\; -\; -->1=0}$

另一根为${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}=\frac{1-<!--\; -\; -->\sqrt{5}}{2}\approx <!--\; \approx \; -->-<!--\; -\; -->0.618}$

绝对值小于1，因此黄金比例为皮索特-维贡伊拉卡文数，其高次方会是接近整数。

依照根和系数的关系，可得知

${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}=-<!--\; -\; -->1}$

${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}=1}$

而${\displaystyle {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^n+{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}}^n}$可以用${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}}$ 及${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}}$来表示，由于二根之和及二根之积均为整数，计算所得的结果也是一个正整数，假设为一正整数K，则${\displaystyle {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^n}$可以用下式表示

${\displaystyle {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^n=K-<!--\; -\; -->{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}}^n}$

由于${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}}$的绝对值小于1，在n增大时，其高次方会趋于0，此时可得

${\displaystyle {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^n\approx <!--\; \approx \; -->K}$

除了黄金比例外，其他皮索特-维贡伊拉卡文数的无理数也符合此一条件，例如${\displaystyle 1+\sqrt{2}}$。

以下也是几个非巧合出现的接近整数，和最大三项的黑格纳数有关：

以上三式可以用以下的式子表示:

其中：${\displaystyle 21=3\times <!--\; \times \; -->7,231=3\times <!--\; \times \; -->7\times <!--\; \times \; -->11,744=24\times <!--\; \times \; -->31}$由于艾森斯坦级数的关系，使得上式中出现平方项。常数${\displaystyle e^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{163}}}$有时会称为拉马努金常数。

许多有关π及e的常数也是接近整数，例如

以及

格尔丰德常数（${\displaystyle e^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$）接近${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+20}$，至2011年为止还没找到出现此特性的原因，因此只能视为一数学巧合。另一个有关格尔丰德常数的常数也是接近整数${\displaystyle \frac{e^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->1}{6\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}=1.00793356\cdots <!--\; \cdots \; -->}$

以下也是一些接近整数的例子