莱恩-埃姆登方程

莱恩－埃姆登方程（Lane–Emden equation）是天文物理中一个表现自引力势能，球对称多方流体的无量纲泊松方程。此方程名字由来于强纳生·荷马·莱恩与罗伯特·埃姆登。此方程的解表示了恒星在半径 ${\displaystyle r}$ 代表核心的压力与密度。${\displaystyle n}$是多方指数；多方指数与代表气体压力及密度的多方方程有关系。

${\displaystyle P}$ 是代表压力，${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$ 则是密度，而 ${\displaystyle K}$ 则是比例常数。标准的边界条件则是 ${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(0)=1}$ 和 ${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\prime }(0)=0}$。因此该方程的解是描述恒星压力和密度与半径的关系，并且给定的多方指数 ${\displaystyle n}$ 也是多方球的多方指数 ${\displaystyle n}$。流体静力平衡与势能、密度、压力梯度有关；泊松方程与势能、密度有关。

在物理学上，流体静力平衡与势能梯度、密度和压力梯度相关，而泊松方程则可以是势能和密度的关系式。因此如果有一个方程可以进一步指出压力和密度如何互相反映，就可以得到一个解。以上多方气体的特定选项在数学上陈述了这个问题，尤其是该陈述特别简洁并推导出了莱恩－埃姆登方程。这个方程对于恒星等自引力势能气体球是相当有用的近似，但它的假设通常是受到限制。

考虑到自引力势能、流体静力平衡下的球对称流体、质量守恒这些状况，就可使用以下连续性方程：

这里 ${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$ 是 ${\displaystyle r}$ 的函数。流体静力平衡的公式成为：

${\displaystyle m}$ 也是 ${\displaystyle r}$ 的公式。再一次求导数可得：

这里已经使用一个连续性方程取代质量梯度。再将方程两侧乘上 ${\displaystyle r^2}$，并将带有 ${\displaystyle P}$ 的导数的项置于左侧，方程成为：

方程两侧除以 ${\displaystyle r^2}$，在某些意义上这是一维形式所需的方程。此外，如果我们以多变方程 ${\displaystyle P=K{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c^{1+\frac{1}{n}}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{n+1}}$ 和 ${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^n}$ 代入，可得到：

将常数聚集并以 ${\displaystyle r=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$ 取代：

最后得到莱恩－埃姆登方程：

同样地，也可以使用泊松方程进行推导：

我们可以透过以下数学公式以流体静力平衡取代势能梯度：

最后也可以得到莱恩－埃姆登方程。

${\displaystyle n}$ 只在3个值时有解析解

如果 ${\displaystyle n=0}$，方程成为：

重新整理并进行一次积分后的公式成为：

公式两侧都除以 ${\displaystyle {\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}$，并且再积分一次后得到：

边界条件 ${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(0)=1}$ 和 ${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\prime }(0)=0}$ 暗示积分常数是 ${\displaystyle C_0=1}$ 和 ${\displaystyle C_1=0}$。

当 ${\displaystyle n=1}$，方程可展开如下：

两端都乘以 ${\displaystyle {\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}$ 可得到 ${\displaystyle k=1}$ 和 ${\displaystyle n=0}$ 的球贝索函数。套用了边界条件以后的解将是：

在经过一连串取代的步骤后，方程可以有进一步的解：

当 ${\displaystyle n=5}$，方程的解将是循着径向的无限大值。

一般情形下莱恩－埃姆登方程的解必须以数值积分方式求得。许多数值积分的标准解法要求该问题必须以一阶常微分方程表示，例如：

在这里 ${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})}$ 被视为无量纲质量，而质量可使用 ${\displaystyle m(r)=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^3{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})}$ 表示。相关的边界条件是 ${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(0)=0}$ 和 ${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(0)=1}$。第一个方程表现了流体静力平衡，而第二个方程则表示质量守恒。

已知如果 ${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})}$ 是莱恩－埃姆登方程的解，那么完整的解方程将是 ${\displaystyle C^{2/n+1}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(C\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})}$。和这方式相关的解则称为“同调”，而变换的过程是同调性的。如果我们选择不变的变量达到同调性，就可以将莱恩－埃姆登方程降一阶计算。

而这类可选择的变量有多个，一个适当的选择是：

和

我们可以将相对于 ${\displaystyle \mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$ 的变量的对数微分，得到：

和

最后，我们将以上两个方程相除以消去因变量 ${\displaystyle \mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$，留下：

以上即为单一一阶方程。

同调性不变的方程可被视为自主对方程：

和

这些方程的解的形式可透过以下线性稳定性分析来决定。方程的临界点（当 ${\displaystyle dV/d\log <!--\; \; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=dU/d\log <!--\; \; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=0}$）和雅可比矩阵的特征值、特征向量如下表所示：