Riccati方程

✍ dations ◷ 2025-09-10 19:56:25 #微分方程

Riccati方程是形式如 $y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}$ $y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}$ 的常微分方程。

先同乘 $q_{2}(x)$ $q_{2}(x)$ ，使得 $q_{2}y'=q_{0}q_{2}+q_{1}q_{2}y+q_{2}^{2}y^{2}$ $q_{2}y'=q_{0}q_{2}+q_{1}q_{2}y+q_{2}^{2}y^{2}$

再以 $v=yq_{2}$ $v=yq_{2}$ 代入：

再以 $v=-{\frac {u'}{u}}$ $v=-{\frac {u'}{u}}$ 代入上式。

则

因此

最终 $y=-{\frac {u'}{q_{2}u}}$ $y=-{\frac {u'}{q_{2}u}}$ .

显然可设 $y={\frac {w''}{w'}}$ $y={\frac {w''}{w'}}$ ：

再代入 $-{\frac {2u'}{u}}=y$ $-{\frac {2u'}{u}}=y$ ，得线性微分方程：

因为 ${\frac {w''}{w'}}=-{\frac {2u'}{u}}$ ${\frac {w''}{w'}}=-{\frac {2u'}{u}}$ ，积分得 $w'={\frac {C}{u^{2}}}$ $w'={\frac {C}{u^{2}}}$ 。另一方面，若线性微分方程有其他线性独立解U，则有：

已知 $y=y_{1}$ $y=y_{1}$ 是一特定解，可设通解 $y=y_{1}+{\frac {1}{z}}$ $y=y_{1}+{\frac {1}{z}}$ ，代入整理得一阶线性常微分方程：

相关

汉语音韵学汉语音韵学（常直接简称为音韵学、声韵学，因用中文表达并省略“汉语”就隐喻指汉语）是研究汉语音韵学，即语音发展变化的语言学分支。汉语音韵学研究汉语语音从古至今的变化，因此现
梦时代商圈梦时代商圈，位于台湾高雄市前镇区中心偏北处，指的是中华五路一带（梦时代购物中心、家乐福、好市多、IKEA等），是高雄市近年来兴起的商圈，和三多商圈、五福商圈、巨蛋商圈并列高雄四
氨甲喋呤氨甲蝶呤（英语：Methotrexate，又称甲氨喋呤、甲氨蝶呤、氨甲喋呤），在台湾商品名为灭杀除癌锭。氨甲蝶呤是一种化疗药物和免疫抑制剂，被用来治疗癌症、自体免疫疾病、子宫外孕和进行
规范场论规范场论（英语：gauge theory）是基于对称变换可以局部也可以全局地施行这一思想的一类物理理论。规范场论可分为阿贝尔规范场论和非阿贝尔规范场论。非阿贝尔群（非交换对称群）的规
石锅拌饭 (돌솥비빈밥)韩式拌饭（韩语：비빔밥 或교반／攪飯），韩文비빔是混和的意思，밥是米饭的意思，所以비빔밥就是拌饭的意思，是韩国百年历史的传统米饭料理，又称石锅拌饭、古董饭，台湾亦有音译为乒乓饭、
A-Lin (专辑)《A-Lin同名专辑》是台湾歌手A-Lin个人第八张专辑，于2017年9月20日正式发行，一共收录11首歌曲。这同时是A-Lin加入台湾索尼音乐娱乐后发行的第二张专辑。预购版：CD、“I’m A-
华兰生物华兰生物工程股份有限公司是一家位于河南新乡从事血液制品研发和生产的制药公司，2004年6月登陆深圳证券交易所中小板（代码：002007）。前身为成立于1992年的华兰生物工程有限公司，1
巴杜里亚巴杜里亚（Baduria），是印度西孟加拉邦North Twentyfour Parganas县的一个城镇。总人口47418（2001年）。该地2001年总人口47418人，其中男性24252人，女性23166人；0—6岁人口6015人，其中男
马克·扬科马克·扬科（德语：Marc Janko，1983年6月25日－），奥地利足球运动员。在2008-09赛季，他攻入了高达39个进球，协助萨尔茨堡红牛获得奥超冠军，他也因此成为该赛季欧洲各联赛的进球数第二多的
格洛克41格洛克41（Glock 41）是由奥地利格洛克公司设计及生产的手枪，是格洛克21的比赛型版本，发射.45 ACP口径手枪子弹，标凖弹匣为13发。格洛克41在2014年的SHOT Show（美国著名枪展）之中推出