Riccati方程

✍ dations ◷ 2025-05-17 17:14:51 #微分方程

Riccati方程是形式如 $y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}$ $y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}$ 的常微分方程。

先同乘 $q_{2}(x)$ $q_{2}(x)$ ，使得 $q_{2}y'=q_{0}q_{2}+q_{1}q_{2}y+q_{2}^{2}y^{2}$ $q_{2}y'=q_{0}q_{2}+q_{1}q_{2}y+q_{2}^{2}y^{2}$

再以 $v=yq_{2}$ $v=yq_{2}$ 代入：

再以 $v=-{\frac {u'}{u}}$ $v=-{\frac {u'}{u}}$ 代入上式。

则

因此

最终 $y=-{\frac {u'}{q_{2}u}}$ $y=-{\frac {u'}{q_{2}u}}$ .

显然可设 $y={\frac {w''}{w'}}$ $y={\frac {w''}{w'}}$ ：

再代入 $-{\frac {2u'}{u}}=y$ $-{\frac {2u'}{u}}=y$ ，得线性微分方程：

因为 ${\frac {w''}{w'}}=-{\frac {2u'}{u}}$ ${\frac {w''}{w'}}=-{\frac {2u'}{u}}$ ，积分得 $w'={\frac {C}{u^{2}}}$ $w'={\frac {C}{u^{2}}}$ 。另一方面，若线性微分方程有其他线性独立解U，则有：

已知 $y=y_{1}$ $y=y_{1}$ 是一特定解，可设通解 $y=y_{1}+{\frac {1}{z}}$ $y=y_{1}+{\frac {1}{z}}$ ，代入整理得一阶线性常微分方程：

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