Riccati方程

✍ dations ◷ 2025-12-06 15:22:31 #微分方程

Riccati方程是形式如 $y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}$ $y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}$ 的常微分方程。

先同乘 $q_{2}(x)$ $q_{2}(x)$ ，使得 $q_{2}y'=q_{0}q_{2}+q_{1}q_{2}y+q_{2}^{2}y^{2}$ $q_{2}y'=q_{0}q_{2}+q_{1}q_{2}y+q_{2}^{2}y^{2}$

再以 $v=yq_{2}$ $v=yq_{2}$ 代入：

再以 $v=-{\frac {u'}{u}}$ $v=-{\frac {u'}{u}}$ 代入上式。

则

因此

最终 $y=-{\frac {u'}{q_{2}u}}$ $y=-{\frac {u'}{q_{2}u}}$ .

显然可设 $y={\frac {w''}{w'}}$ $y={\frac {w''}{w'}}$ ：

再代入 $-{\frac {2u'}{u}}=y$ $-{\frac {2u'}{u}}=y$ ，得线性微分方程：

因为 ${\frac {w''}{w'}}=-{\frac {2u'}{u}}$ ${\frac {w''}{w'}}=-{\frac {2u'}{u}}$ ，积分得 $w'={\frac {C}{u^{2}}}$ $w'={\frac {C}{u^{2}}}$ 。另一方面，若线性微分方程有其他线性独立解U，则有：

已知 $y=y_{1}$ $y=y_{1}$ 是一特定解，可设通解 $y=y_{1}+{\frac {1}{z}}$ $y=y_{1}+{\frac {1}{z}}$ ，代入整理得一阶线性常微分方程：

相关

现代椭圆形办公室椭圆形办公室（Oval Office）位于白宫西厢，是美国总统的正式办公室。顾名思义，办公室呈椭圆形，总统办公桌后有三扇朝南的窗户，房间北侧有一个壁炉。其建于1909年塔夫脱总统时期，办公
阿尔费罗夫京都奖尖端科技奖 (2001)诺贝尔物理学奖 (2000)若列斯·伊万诺维奇·阿尔费罗夫（俄语：Жоре́с Ива́нович Алфёров，1930年3月15日－2019年3月1日），俄罗斯物理
2009年夏季世界大学生运动会第二十五届夏季世界大学生运动会（XXV Summer Universiade）于2009年7月1日至7月12日在塞尔维亚贝尔格莱德举行，这是塞尔维亚首次主办夏季世界大学生运动会。主会场是贝尔格莱德
为公众利益为公众利益（拉丁语：pro bono publico，英语：for the public good、常常缩写为“pro bono”；公益服务）是拉丁语短语，指的是志愿提供专业服务，不收取任何报酬。和传统意义上的志愿服务
黄绍恒黄绍恒，新竹县客家人，曾任国立政治大学经济系教授，现为国立交通大学客家文化学院教授，专长为经济史、客家族群史、客家文化史、客家史教授。1984年从国立台湾大学经济学系毕业，19
母婴包母婴包（芬兰语：Äitiyspakkaus）是给在芬兰居住的待产母亲或准备收养小孩的母亲发放的母婴用品包裹。该包裹由芬兰社会保障局（英语：Kela (Finnish institution)）发放。母婴包里有婴
金赵光秀金赵光秀（韩语：김조광수，1965年3月26日－），韩国电影制片、导演、作家及LGBT人权运动者。金赵光秀是韩国少数公开身份的男同性恋电影导演，曾参与多部以男同性恋主题的作品。他曾与导
单身贵族探案《单身贵族探案》是柯南·道尔所著的福尔摩斯探案的56个短篇故事之一，收录于《福尔摩斯办案记》。属贵族阶层的罗伯特·圣西蒙勋爵正要结婚，但妻子海蒂·杜兰在完成婚礼后离奇
周旋 (状元)周旋（1395年－1454年），字中规，号畏庵，浙江温州府永嘉县鹿城横渎周岙人。明朝正统元年（1436年）丙辰科状元，授翰林院修撰。历升侍讲、春坊左庶子。著有《畏庵集》。
吾父吾血《吾父吾血》（英语：）是一部2016年法国动作惊悚片，由强-法兰柯·瑞西（英语：Jean-François Richet）执导，改编自彼得·克雷格的同名小说。电影主演包括梅尔·吉布森、艾琳·莫里亚蒂、