指数映射 (李群)

✍ dations ◷ 2025-10-18 02:30:24 #李群,黎曼几何,指数

在微分几何中,指数映射是微积分中定义的指数函数在任意黎曼流形上的推广。李群上的指数映射是一类重要的情形。

M {\displaystyle M} 为微分流形, : T M T M T M {\displaystyle \nabla :TM\to T^{*}M\otimes TM} 为其上的仿射联络。给定任一点 p M {\displaystyle p\in M} 。根据常微分方程的基本理论,存在切空间 T p M {\displaystyle T_{p}M} 中的开子集 U p {\displaystyle U\ni p} 及光滑映射 γ : U × M {\displaystyle \gamma :U\times \to M} ,使得:

对够小的 U {\displaystyle U} ,映射 γ {\displaystyle \gamma } 是唯一的。定义点 p {\displaystyle p} 的指数映射为

由于常微分方程解的存在性只是局部性的,指数映射一般不能定义在整个 T p M {\displaystyle T_{p}M} 上,在黎曼流形的情形,霍普夫-里诺定理给出了充要条件。此外,指数映射通常也不是满映射,而是 p {\displaystyle p} 的一个邻域。黎曼流形上由指数映射给出的坐标系称作测地法坐标。

从几何上看,指数映射exp(p,v)是把切丛中的一个切向量v,映射到以(p,v)为初始条件的测地线从点p量起弧长等于|v|的点。

G {\displaystyle G} 为李群,取定左、右不变之仿射联络,可得在整个李代数上定义的指数映射 exp : g g {\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to g} 。这是联系李代数与李群的主要工具。李群的指数映射满足下述性质:

G = ( R × , ) {\displaystyle G=(\mathbb {R} ^{\times },\cdot )} ,相应者便是寻常的指数函数 x e x {\displaystyle x\mapsto e^{x}} 。取 G = ( R n , + ) {\displaystyle G=(\mathbb {R} ^{n},+)} ,相应者是恒等映射 i d : R n R n {\displaystyle \mathrm {id} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}

事实上,对复李群及任何完备域上的解析李群都能定义指数映射。

相关

  • 2020年新型冠状病毒肺炎事件重定向至:
  • 乌德穆尔特人乌德穆尔特人(俄语:Удму́рты),又名沃吉亚克人,分布在乌拉尔山,维亚特卡,乌德穆尔特共和国与彼尔姆,少数分布于基洛夫州、马里埃尔共和国、巴什科尔托斯坦一带,在俄罗斯史料中
  • Curtius重排反应柯提斯重排反应(Curtius重排反应)是一个重排反应,首先由西奥多·柯提斯(Theodor Curtius)发现,反应中酰基叠氮重排生成异氰酸酯。关于此反应的综述参见:。产物可与一系列亲核试剂反
  • 多边投资担保机构多边投资担保机构(Multilateral Investment Guarantee Agency,简称MIGA):是世界银行为促进外国资本直接向发展中国家投资而设立的机构,为世界银行集团成员,投资起点为10亿美元。多
  • 梯皮梯皮(英语:tipi或t(e)epee, <= thípi)是一种圆锥体状的帐篷,由桦树皮或兽皮制成,流行于北美大平原上的美国原住民中。梯皮通常总是刻板地与印第安人联系在一起,但实际上在大平原
  • 墨西哥市墨西哥城(西班牙语:Ciudad de México 西班牙语发音:.mw-parser-output .IPA{font-family:"Charis SIL","Doulos SIL","Linux Libertine","Segoe UI","Lucida Sans Unicode","C
  • 高伯龙高伯龙(1928年6月29日-2017年12月6日),广西岑溪人,生于广西南宁,中国激光陀螺专家,中国工程院院士,国防科技大学教授。
  • 北长河北长河是北京地区的一条河流。历史上曾是北京市主要水源。原来发源于海淀区玉泉山的“天下第一泉”,经青龙闸流入昆明湖,然后由南长河导入城内的北海和中南海。泉水断流后成为
  • 米奇斯拉夫·卡洛维茨米奇斯拉夫·卡洛维茨(波兰语:Mieczysław Karłowicz,1876年12月11日-1909年2月8日),波兰作曲家。先后在华沙和柏林接受音乐教育,1902年回国,大力宣传推广瓦格纳风格的音乐,并与“青
  • 张德拉·巴哈杜尔·丹奇张德拉·巴哈杜尔·丹奇(尼泊尔语:चन्द्रबहादुर डाँगी 收听 帮助·信息,1939年11月30日-2015年9月3日)曾经是世界上最矮的成年人,他住在尼泊尔加德满都200英里