指数映射 (李群)

在微分几何中，指数映射是微积分中定义的指数函数在任意黎曼流形上的推广。李群上的指数映射是一类重要的情形。

设 ${\displaystyle M}$ 为微分流形，${\displaystyle \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}:TM\to <!--\; \to \; -->T^{\ast <!--\; \ast \; -->}M\otimes <!--\; \otimes \; -->TM}$ 为其上的仿射联络。给定任一点 ${\displaystyle p\in <!--\; \in \; -->M}$。根据常微分方程的基本理论，存在切空间 ${\displaystyle T_{p}M}$ 中的开子集 ${\displaystyle U\ni <!--\; \ni \; -->p}$ 及光滑映射 ${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}:U\times <!--\; \times \; -->\to <!--\; \to \; -->M}$，使得：

对够小的 ${\displaystyle U}$，映射 ${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$ 是唯一的。定义点 ${\displaystyle p}$ 的指数映射为

由于常微分方程解的存在性只是局部性的，指数映射一般不能定义在整个 ${\displaystyle T_{p}M}$ 上，在黎曼流形的情形，霍普夫-里诺定理给出了充要条件。此外，指数映射通常也不是满映射，而是 ${\displaystyle p}$ 的一个邻域。黎曼流形上由指数映射给出的坐标系称作测地法坐标。

从几何上看，指数映射exp(p,v)是把切丛中的一个切向量v，映射到以(p,v)为初始条件的测地线从点p量起弧长等于|v|的点。

设 ${\displaystyle G}$ 为李群，取定左、右不变之仿射联络，可得在整个李代数上定义的指数映射 ${\displaystyle \exp :\mathfrak{g}\to <!--\; \to \; -->g}$。这是联系李代数与李群的主要工具。李群的指数映射满足下述性质：

取 ${\displaystyle G=({\mathbb{R}}^{\times <!--\; \times \; -->},\cdot <!--\; \cdot \; -->)}$，相应者便是寻常的指数函数 ${\displaystyle x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->e^x}$。取 ${\displaystyle G=({\mathbb{R}}^n,+)}$，相应者是恒等映射 ${\displaystyle \mathrm{i}\mathrm{d}:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n}$。

事实上，对复李群及任何完备域上的解析李群都能定义指数映射。