全集

数学上，特别是在集合论和数学基础的应用中，全类（Universe，若是集合，则为全集）大约是这样一个类，它（在某种程度上）包含了所有的研究对象和集合。

这个一般概念有数个精确的版本。最简单的可能就是，任意集合都可以是全集。当研究一个特定集合的时候，这个集合就是全集。若研究实数，则所有实数的集合实数线${\displaystyle \mathbb{R}}$的子集。集合${\displaystyle A}$的圆形的外面的部分。严格地说，这是对的${\displaystyle U\mathrm{\setminus <!--\; \setminus \; -->}A}$是全集的场合下，这可以被当成是的${\displaystyle A^C}$）下的所有东西组成的集合。

在基于布尔格的代数方法研究基础集合理论时，这种惯例非常有用。但对公理化集合论的一些非标准形式并非如此，例如新基础集合论，这里所有集合的类并不是布尔格，而仅仅是相对有补格。相反，的幂集，即的所有子集组成的集合，是一个布尔格。上述的绝对补集是布尔格中的补运算；而空交集则作为布尔格中的最大元（或空交）。这里，适用于补运算、交运算和并运算（集合论中的并集）的德·摩根律成立，而且对空交和空并（即空集）也成立。

然而，当考虑过给定集合${\displaystyle X}$的子集组成的集合。（例如：上的一个拓扑就是一个的子集组成的集合。）这些不同的的子集组成的集合本身，一般而言并不是的子集，却是的幂集${\displaystyle \mathbf{P}X}$的子集组成的集合所组成的集合，等等。另一个方向是：可以考虑笛卡尔积${\displaystyle X\times <!--\; \times \; -->X}$映射到其自身的函数。接着，还可以考虑笛卡尔积上的函数，或从映射到${\displaystyle X\times <!--\; \times \; -->\mathrm{P}X}$，仍然需要一个比大很多的全集。顺着上面的思路，可能需要上的超结构。这可以通过结构递归来定义，如下：

注意到，无论初始集合如何，空集总是属于${\displaystyle {\mathbf{S}}_{1}X}$元组，表示定义域为冯·诺伊曼序数${\displaystyle }$上的超结构包含了所有的遗传有限集合。这样，它可以被认为是“有限主义数学的全集”。可以想像一下，假若19世纪的有限主义者利奥波德·克罗内克当时能使用到这个全集的话；他会相信每个自然数都存在，而集合${\displaystyle \mathbb{N}}$；而现在，它们是全集的。这样尽管${\displaystyle \mathbf{P}(\mathbf{S}X)}$进行，${\displaystyle \mathbf{S}\mathbb{N}}$序数${\displaystyle i}$定义${\displaystyle V_i}$。所有${\displaystyle V_i}$的并集为冯·诺伊曼全集${\displaystyle V}$：